2、影响水的电离平衡的因素

⑴温度　　　　　　　　　　　　 ⑵酸、碱　　　　　　　　　　　　

⑶易水解的盐　　　　　　　　　　　　

[思考]分析下列条件的改变对水的电离平衡的影响：　　　　　　　　

[例1]纯水在25℃和80℃时的H⁺浓度，前后两个量的大小关系为(　　 )

A. 大于　　　 B. 等于　　　 C. 小于　　　 D. 不能确定

1、水是一种　　　 电解质，其电离方程式为　　　　　　　　　　　　 ，

水的离子积Kw＝　　　　　　　　　　　　 　

Kw只随温度变化而不随浓度变化，水的电离是　 热过程，25℃时，Kw=　　　　　　　　　　　　

15．(2008·宁夏、海南)设函数f(x)＝ax+(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

(1)解：f′(x)＝a－，

于是

解得或

因a，b∈Z，故f(x)＝x+.

(2)证明：已知函数y₁＝x，y₂＝都是奇函数．

所以函数g(x)＝x+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．

而f(x)＝x－1++1.

可知，函数g(x)的图象按向量a＝(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．

(3)证明：在曲线上任取一点

.

由f′(x₀)＝1－知，过此点的切线方程为

y－＝(x－x₀)．

令x＝1得y＝，切线与直线x＝1交点为.

令y＝x得y＝2x₀－1，

切线与直线y＝x交点为(2x₀－1,2x₀－1)．

直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．

从而所围三角形的面积为

|2x₀－1－1|

＝·＝2

所以所围成三角形的面积为定值2.

14．(2008·山东师大附中)已知f(x)是定义在(0，+∞)上的单调递增函数，对于任意的m、n[m、n∈(0，+∞)]满足f(m)+f(n)＝f(mn)，且a、b(0<a<b)满足|f(a)|＝|f(b)|＝2.

(1)求f(1)；

(2)若f(2)＝1，解不等式f(x)<2；

(3)求证：3<b<2+.

解：(1)令m＝n＝1，由f(m)+f(n)＝f(mn)，得f(1)+f(1)＝f(1)．

∴f(1)＝0.

(2)∵f(2)＝1，

∴f(x)<2＝1+1＝f(2)+f(2)＝f(4)．

又f(x)在(0，+∞)上单调递增，

∴0<x<4，∴f(x)<2的解集为(0,4) .

(3)∵f(1)＝0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，

∴x∈(0,1)时，f(x)<0；

x∈(1，+∞)时，f(x)>0.

又|f(a)|＝|f(b)|，

∴f(a)＝f(b)或f(a)＝－f(b)．

∵0<a<b，∴f(a)＝－f(b)，

∴f(a)+f(b)＝f(ab)＝0，

∴ab＝1，∴0<a<1<b.

又∵|f(b)|＝2，

且b>1，>＝1，

∴f(b)＝2f，

∴4b＝a²+2ab+b²，

∴4b－b²－2＝a²，考虑到0<a<1，

∴0<4b－b²－2<1，又b>1，

∴3<b<2+.

13．(2008·北京海淀)

今有一长2米，宽1米的矩形铁皮，如右图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起，做成一个无盖的长方体水箱(接口连接问题不考虑)．

(1)求水箱容积的表达式f(x)，并指出函数f(x)的定义域；

(2)若要使水箱容积不大于4x³立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．

解：(1)由已知该长方体水箱高为x米，底面矩形长为(2－2x)米，宽(1－2x)米．

∴该水箱容积为f(x)＝(2－2x)(1－2x)·x

f(x)＝4x³－6x²+2x，

其中正数x满足

∴0<x<.

∴所求函数f(x)的定义域为

.

(2)由f(x)≤4x³，得x≤0或x≥.

∵函数f(x)的定义域为.

∴≤x<.

此时底面积为S(x)＝(2－2x)(1－2x)

＝4x²－6x+2，x∈.

由S(x)＝4²－，

可知S(x)在上是减函数，

∴x＝.

答：满足条件的x为米．

12．(2009·重庆市一测)某厂家拟在2009年举行促销活动．经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．

(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

(2)该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

解：(1)由题意可知1＝4－得k＝3，故x＝4－.

y＝1.5··x－(6+12x)－t＝3+6x－t＝3+6(4－)－t＝27－－t(t≥0)．

(2)y＝27－－t＝27.5－(+t+)≤27.5－2＝21.5.

当且仅当＝t+，即t＝2.5时，y取得最大值．

故2009年的促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大．

11．(2008·石家庄二测)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x+6)＝f(x)+f(3)成立，且f(－4)＝－2，当x₁，x₂∈[0,3]，且x₁≠x₂时，都有>0.则给出下列命题：

①f(2008)＝－2；

②函数y＝f(x)图象的一条对称轴为x＝－6；

③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数；

④方程f(x)＝0在[－9,9]上有4个根；

其中所有正确命题的序号为________．

答案：①②③④

解析：f(x+6)＝f(x)+f(3)，f(3)＝0，

则f(x+6)＝f(x),6为函数的一个周期，又函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(－4)＝－2，则f(4)＝－2，当x₁，x₂∈[0,3]，且x₁≠x₂时，都有>0，函数在区间[0,3]上为增函数．对于①，f(2008)＝f(4+6×334)＝f(4)＝－2，①正确；对于②，由奇偶性和周期性得函数y＝f(x)图象的一条对称轴为x＝－6，则②正确；对于③，由周期性知函数y＝f(x)在[－6，－3]上为增函数，又函数y＝f(x)图象的一条对称轴为x＝－6，则函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数，③正确；对于④，由于f(3)＝0，根据奇偶性和周期性得f(－3)＝0，f(9)＝0，f(－9)＝0，则方程f(x)＝0在[－9,9]上有4个根，④正确；综上所述，①②③④正确，故填①②③④.

10．(2008·重庆一模)将函数f(x)＝的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到函数g(x)的图象，则g(1)+2g(2)+3g(3)＝________.

答案：9

解析：函数f(x)＝的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到函数g(x)＝f(x+1)－1＝－1＝，则g(1)+2g(2)+3g(3)＝9，故填9.

9．(2009·江西九校联考)给出下列四个命题：①函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；②函数y＝2^－x的反函数是y＝－log₂x；③若函数f(x)＝lg(x²+ax－a)的值域是R，则a≤－4或a≥0；④若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中所有正确命题的序号是________．

答案：①②③

解析：依题意，因为f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数，所以f(－x)＝－x|x|－bx+c＝－f(x)＝－x|x|－bx－c，所以c＝0，①正确；由y＝2^－x解得x＝－log₂y，即函数y＝2^－x的反函数为y＝－log₂x，②正确；函数f(x)＝lg(x²+ax－a)的值域为R，则Δ＝a²+4a≥0，解得a≤－4或a≥0，所以③正确；因为函数y＝f(x－1)是偶函数，则图象关于y轴对称，y＝f(x)的图象由函数y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位得到，则y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以④错．

8．(2009·东北三校联考)设函数f(x)＝，则(a≠b)的值为(　)

A．a　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．b

C．a、b中较小的数　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．a、b中较大的数

答案：C

解析：对a－b进行讨论，当a－b>0时，f(a－b)＝－1，＝＝b；当a－b<0时，f(a－b)＝1，＝＝a，所以上式的值为a、b中较小的数．选C.