116．[2010·广东省四月调研]已知定点A(0,－1)，点B在圆上运动，为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P．

(I)求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值。

　 (II)已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围．

解：(I)由题意得，∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆.设椭圆方程为 ，

则，∴点的轨迹方程为

曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。而轨迹E：为焦点在Y轴上的椭圆，短轴上的顶点为结合它们的图像知：若曲线被轨迹E包围着，则，∴的最小值为 。　　　　　　　　　　　　

(II))设，由得：，

化简得，即 ，

　　　 而

∵点在圆内，∴

∴，

∴，∴的取值范围为．

115．[2010·巢湖市第一学期期末质检]已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率；

(Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

.

所以椭圆的标准方程为. 离心率

　(Ⅱ),设由得

化简得，即

故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为　

114．[2010·海淀一模]已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．

　⑴求椭圆的方程；

⑵过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．

解：⑴设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆两焦点坐标分别为，．∴．∴，又，，故椭圆的方程为．

⑵当直线轴，计算得到：，，，不符合题意．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去y得．显然成立，设，，则，．

又

即，又圆的半径．

所以，

化简，得，即，解得．所以，．

故圆的方程为：．

⑵另解：设直线的方程为，由，消去得，恒成立，设，，则，．

所以．

又圆的半径为．

所以，解得，

所以．故圆的方程为：．

113．[2010·湖南师大附中第二次月]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点．

(Ⅰ)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；

(Ⅱ)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．

解：(Ⅰ) 设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，，即，故抛物线C的方程是．　　　　 　　　　　　　

(Ⅱ)设圆心()，点A，B. 因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为.　 令，得.则，. 所以.　 ，设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则. 所以. 由此可得，当时，为定值．故存在一条抛物线，使|AB|为定值4.　

112．[2010·石家庄市质检(二)]已知抛物线方程x²=4y，过点(t，－4)作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B．　

(I)求证直线AB过定点(0，4)；

　(II)求OAB(O为坐标原点)面积的最小值．

解：(Ⅰ)设切点为 又　 ，　 则切线的方程为： ,　 即,　　 切线的方程为：即,由(t,―4)是、交点可知： ， ，　　　 ∴过A、B的直线方程为，　　　 即,　　 所以直线过定点(0，4)．

　 (Ⅱ)由 ,得 ．则,　　 因为　 ＝，当且仅当t＝0时，

111．[2010·福建漳州一中年五月质检]已知椭圆，直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C．直线AB与直线OM的斜率分别为k、m，且．

　 (Ⅰ)求的值；

　 (Ⅱ)若直线AB经过椭圆的右焦点F，问：对于任意给定的不等于零的实数k，是否存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形，请证明你的结论。

解：(Ⅰ)解法一：设，,，则，

两式相减，得：_，又，，

∴，

又∵，∴，∴

解法二：设直线AB的方程为y=kx+n，代入椭圆方程得 ，设，,，则，∴，，

∴，又∴，∴

(Ⅱ)设C(x_C，y_C)，直线AB的方程为y=k(x-c)(k≠0)，代入椭圆方程，得 ，若OACB是平行四边形，则 ，∴，_，∵C在椭圆上 ∴ ∴_，∴ ，∴ ∴ ，∵ ，a∈[2，+∞] ，∴ ，∴且_，∴当且时，存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形；当或时，不存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形。

110．[2010·北京海淀第二学期期中练习]已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上.　

(I)求椭圆C的方程；　

(II)过椭圆C的左焦点的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.

解：(I)设椭圆C的方程为，由题意可得，

又，因为椭圆C经过，代入椭圆方程有，解得，所以故椭圆C的方程为

　 (II)解法一：　　 当直线l轴时，计算得到：

，不符合题意。当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：，由

显然，则

又

=　　

即,又圆O的半径

所以

化简，得

解得(舍),所以，故圆O的方程为：

　 (II)解法二：设直线的方程为，

由,因为，

则　

所以

所以,

化简得到，解得(舍),

又圆O的半径为 ,所以，故圆O的方程为：;

109．[2010·江西省重点中学]第二次联考]已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线与轨迹W交于A、B两点。

(1)求轨迹W的方程；

(2)若，求直线的方程；

(3)对于的任意一确定的位置，在直线上是否存在一点Q，使得，并说明理由。

解：(1)依题意可知　 ∴，∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，设其方程为　　 则　 ∴，∴轨迹W的方程为

　 (2)当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，设的方程为，由得，又设，则

由①②③解得，∵　 ∴

∴　 代入①②得，

消去得，即，故所求直线的方程为：；

(3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点

若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为，可知其与直线相交；若直线的斜率存在，则设直线的方程为，

由(2)知且，又为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，则

设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径的距离为d，则

∴

∵　 ∴ 即，即直线与圆S相交。综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；

故对于的任意一确定的位置，与直线上存在一点Q(实际上存在两点)使得

108．[2010·巢湖市第一学期期末质检]已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率；

(Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

解： (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

.

所以椭圆的标准方程为. 离心率

　(Ⅱ),设由得

化简得，即

故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为　

107. [2010 •福建理数]已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为