5.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］ (a＞0)上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

?A.1　　　　　　　　　 ?B.2　　　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　　　 ?D.4　

答案?D?　

例1　 判断下列函数的奇偶性.　

(1)f(x)=;　

(2)f(x)=log₂(x+) (x∈R);　

(3)f(x)=lg|x-2|.　

解 (1)∵x²-1≥0且1-x²≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.　

∵f(1)=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),　

故f(x)既是奇函数又是偶函数.　

(2)方法一　 易知f(x)的定义域为R，　

又∵f(-x)=log₂［-x+］=log₂=-log₂(x+)=-f(x),　

∴f(x)是奇函数.　

方法二　 易知f(x)的定义域为R，　

又∵f(-x)+f(x)=log₂［-x+］+log₂(x+)=log₂1=0,即f(-x)=-f(x),　

∴f(x)为奇函数.　

(3)由|x-2|＞0，得x≠2.　

∴f(x)的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.　

例2　 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).　

(1)求证：f(x)是奇函数；　

(2)如果x∈R⁺，f(x)＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.　

(1)证明 　∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.　

∵f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,　

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0，得f(-x)=-f(x),　

∴f(x)为奇函数.　

(2)解　 方法一　 设x,y∈R⁺，∵f(x+y)=f(x)+f(y)，　

∴f(x+y)-f(x)=f(y).　∵x∈R⁺，f(x)＜0,　

∴f(x+y)-f(x)＜0,　∴f(x+y)＜f(x).　

∵x+y＞x,　∴f(x)在(0，+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数，f(0)=0，　

∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值，f(6)为最小值.　

∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f(1)+f(2)］=-3.　

∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.　

方法二　 设x₁＜x₂,且x₁,x₂∈R.　

则f(x₂-x₁)=f［x₂+(-x₁)］=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁).　

∵x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＜0.∴f(x₂)-f(x₁)＜0.即f(x)在R上单调递减.　

∴f(-2)为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-，　

∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1，f(6)=2f(3)=2［f(1)+f(2)］=-3.　

∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.　

例3 (12分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)?.　

(1)求证：f(x)是周期函数；　

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数.　

(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x)，　

∴f(x+4)=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　2分　

∴f(x)是以4为周期的周期函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　3分　

(2)解　 当0≤x≤1时，f(x)=x,　

设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x.　

∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x),　

∴-f(x)=-x，即f(x)= x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　5分　

故f(x)= x(-1≤x≤1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　6分　

又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,　

∴f(x-2)=(x-2),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　7分

又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-［-f(-x)］=-f(x)，　

∴-f(x)=(x-2)，　

∴f(x)=-(x-2)(1＜x＜3).　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分　

∴f(x)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　9分　

由f(x)=-,解得x=-1.　

∵f(x)是以4为周期的周期函数.　

故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z).　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分　

令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,　

又∵n∈Z，∴1≤n≤502 (n∈Z),　

∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　12分

4.已知f(x)=是奇函数，则实数a的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(　 )　

?A.1　　　　　　　　　 B.-1　 　　　　　　　　　C.0　　　　　　　　 ?D.±1　

答案?A?　

3.(2009·新郑二中模拟)设偶函数f(x)=log_a|x-b|在(-∞,0)上单调递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系为 (　 )　A.f(a+1)≥f(b+2)　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(a+1)≤f(b+2)　

C.f(a+1)＜f(b+2)?　　　　　　　　　　　　　　　　 D.f(a+1)＞f(b+2)　

答案?D?　

2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(　 )

?A.-1　　　　　 　　　　B.0　　　　　　　　　 C.1?　　　　　　　　 D.2　

答案?B?　

1.(2008· 福建理，4)函数f(x)=x³+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2，则f(-a)的值为　　 　　　　　　　　　(　 )

?　 A.3　　　　　　　 ?B.0　　　　　　　　　 C.-1　　　　　　　　 D.-2　

答案?B?　

12.已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-.　

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；　

(2)求f(x)在［-3，3］上的最值.　

解 (1)f(x)在R上是单调递减函数　

证明如下：　

令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x₁＜x₂,则x₂-x₁＞0,　

∴f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁).又∵x＞0时，f(x)＜0,　

∴f(x₂-x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.　

(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在［-3，3］上也是减函数.　

∴f(-3)最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(-=-2.　

∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.

§2.4　 函数的奇偶性

　基础自测

11.(2008·青岛调研)已知f(x)=(x≠a).　

(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增；　

(2)若a＞0且f(x)在(1,+∞)内单调递减，求a的取值范围.　

(1)证明 　任设x₁＜x₂＜-2,则f(x₁)-f(x₂)=　

∵(x₁+2)(x₂+2)＞0,x₁-x₂＜0,∴f(x₁)＜f(x₂),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.　

(2)解 　任设1＜x₁＜x₂,则f(x₁)-f(x₂)=　

∵a＞0,x₂-x₁＞0,∴要使f(x₁)-f(x₂)＞0,只需(x₁-a)(x₂-a)＞0恒成立，∴a≤1.综上所述知0＜a≤1.

10.函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0.　

(1)求证：f(x)在(-∞,+∞)上为增函数；　

(2)若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.　

(1)证明 　设x₂＞x₁,则x₂-x₁＞0.　

∵f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)＞0,

∴f(x₂)＞f(x₁),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.　

(2)解　 ∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 　

又f［log₂(x²-x-2)］＜2,∴f［log₂(x²-x-2)］＜f(2).　∴log₂(x²-x-2)＜2,于是∴

即-2＜x＜-1或2＜x＜3.∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}.

9.已知f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2.

解 　根据题意，由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2.　

又f(x)+f(x-8)=f［x(x-8)］,故f［x(x-8)］≤f(9).　

∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数，∴解得8＜x≤9.

8.已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)为增函数，则函数g(x)=在其定义域内为减函数；③若f(x)与g(x)均为(a,b)上的增函数，则f(x)·g(x)也是区间(a,b)上的增函数；④若f(x)与g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则在(a,b)上是递增函数.其中正确命题的序号是　　　　 .　

答案　 ①