4．周期函数的定义：对于函数，如果存在一个不等于的常数，使得当取定义域内的任意值时都有，则是周期函数，是它的一个周期.对于一个周期函数，如果所有周期中存在一个最小的正的周期，就把这个周期叫做最小正周期.

教材透析

知识点1:奇偶函数的定义域关于原点对称，解题时要优先考虑；定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.

知识点2：函数奇偶性的判断方法：①定义域关于原点对称；②对于奇函数若定义域中有，则；③ 特值检验，然后再证明；④利用某些性质：在公共定义域内，偶函数与偶函数的和(或差或积或商)是偶函数，奇函数与奇函数的和(或差或积或商)是奇函数，(作商时，注意分母不能为)奇函数与偶函数的积与商为奇函数.

知识点3：函数奇偶性的应用①作函数图像；②求解析式；③奇偶性与单调性的联系：奇函数的对称区间上单调性相同，偶函数的对称区间上单调性相反；④利用奇偶性求值.

知识点4：若是函数的周期，则的整数倍也是函数的周期.

典例剖析

[题型1]判断函数的周期性

[例1](2002全国文)设函数，.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求函数的最小值.

[解析](1)，

由于，

故既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)f(x)=，

由于在上的最小值为，在内的最小值为，

故函数在内的最小值为.

[点评]因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词. 与要同时有意义，f(x)与f(－x)要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.

[变式与拓展]

3.奇、偶函数的性质

(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.

(3)若奇函数的定义域包含数，则.

(4)奇函数的反函数也为奇函数.

(5)定义在(－∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

2.偶函数：对于函数.的定义域内任意一个，都有

(或)，则称为偶函数.

1.奇函数：对于函数的定义域内任意一个，都有

(或)，则称为奇函数.

12.(2006年上海春)设函数.

(1)在区间上画出函数的图像；

(2)设集合

，

　试判断集合和之间的关系，并给出证明；

(3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

解：(1)如图所示：

(2)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

　.

由于，∴ .

(3)[解法一] 当时， .

，

　　　 ，∴，又，

　　　 ①　 当，即时，取，

　　　 　.

　　　 ， 则 .

　　　 ②　 当，即时，取，　　 ＝.

　　 由 ①、②可知，当时，，.

　　 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

　　 [解法二] 当时， .

由 得，

　　 令 ，解得 或，

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.

如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

第三节　 函数的奇偶性和周期性

自主学习

11.(2007湖北文)设二次函数，方程的两根和满足．

(1)求实数的取值范围；

(2)试比较与的大小，并说明理由．

[解析](1)令，

则由题意可得．

故所求实数的取值范围是．

(2)，令．

当时，单调增加，

∴当时，

，即．

10．设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增；

②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增；

③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减；

④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减.

其中，正确的命题是　②　③　.

三 解答题

9. 如果函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是 .

8．函数y=log_a(2－ax)在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是.

7．(2006年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题)函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是.