对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例12　 如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是　　　　　 。

解：根据不等式解集的几何意义，作函数和函数的图象(如图)，从图上容易得出实数a的取值范围是。

例13　 已知实数x、y满足，则的最大值是　　　　 。

解：可看作是过点P(x，y)与M(1，0)的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

例6 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则　　　　　　 。

解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。

例7 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则　　　　　 。

分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。

例8 　求值　　　　 。

分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。

例9如果函数f(x)=x²+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是　

解：　 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

　例10已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比数列，则的值是 　　　 。

解：　 考虑到a₁,a₃,a₉的下标成等比数列，故可令a_n=n满足题设条件，于是=。

例11椭圆+=1的焦点为F₁、F₂，点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是　　　 　　　　 。

解：　 设P(x,y)，则当∠F₁PF₂=90°时，点P的轨迹方程为x²+y²=5，由此可得点P的横坐标x=±，又当点P在x轴上时，∠F₁PF₂=0；点P在y轴上时，∠F₁PF₂为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-<x<。

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

例3设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 　　　　　　　。

解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。

例4(08广东卷)已知(是正整数)的展开式中，的系数小于

120，则　　　　 ．

解：按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。

例5现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为　　　　 。

解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。

有些问题直接去解很难奏效，而利用定义去解可以大大地化繁为简，速达目的。

例1. 的值是_________________。

解：从组合数定义有：

又　 ，代入再求，得出466。

例2. 到椭圆右焦点的距离与到定直线x＝6距离相等的动点的轨迹方_______________。

解：据抛物线定义，结合图知：

轨迹是以(5，0)为顶点，焦参数P＝2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：

11、预测题

(1)函数在上有最大值，则实数的取值范围为　　　

分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论，可以用导数法求函数的最值，也可以用配方法求二次函数的最值。

解法一、当时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意。

当时，函数，其对称轴为

当时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意。

当时，当即时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意。

综上：当时，函数在上有最大值。

解法二、由得，要使函数在上有最大值，需使在上为单调增函数，由，当时成立，当，得，因为在上的最大值为，所以。

综上：当时，函数在上有最大值。

答案：

评注：在函数类型不确定时要分类讨论最后整和答案。

(2)．(2008福建德化一中)已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底, )

(Ⅰ) 求的解析式;

(Ⅱ)设求证：当，时，；

(Ⅲ)是否存在负数，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由。

分析：由函数的奇偶性的定义求得函数的解析式，(2)中要证明不等式在时恒成立，只需证明的最小值大于的最大值，可以通过研究函数的单调性和极值求得，(3)为存在性命题，可以先假设存在，然后通过求导在区间内研究最值。由于中含有参数，而，那么可以根据与的大小关系进行分类比较。

解：(Ⅰ)设，则，所以

又因为是定义在上的奇函数，所以

故函数的解析式为　

(Ⅱ)证明：当且时，，设　　 因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以　 　又因为，所以当时，，此时单调递减，所以

所以当时，即

(Ⅲ)解：假设存在负数，使得当时，有最小值是3，则

①当，由于，则，故函数 是上的增函数．所以，解得(舍去)

②当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．

所以，解得满足题意。

综上可知，存在负数，使得当时，有最小值3

评注：本题在导函数的正负判断上出现分歧，需要对的不同取值进行分类整合。

(3)．(2007湖北卷21)已知数列和满足：,

其中为实数，为正整数.

(Ⅰ)对任意实数，证明数列不是等比数列；

(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

(Ⅲ)设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

分析：根据等比数列的定义进行判断,注意等比数列的首项不为0,公比不为0,由此引发分类讨论.

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即

矛盾.

所以{a_n}不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为

又,所以当,此时不是等比数列：

当时，,由上可知b_n≠0，∴.

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当,不满足题目要求.

∴，故知，于是可得S_n=

要使对任意正整数成立，即　　　　　　　　

　,　 ①则

当n为正奇数时，;

∴的最大值为,的最小值为,

于是，由①式得,

当时，不存在实数满足题目要求；

当存在实数，使得对任意正整数,都有,且的取值范围是

评注：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力。对于等比数列的定义来说要掌握准确,注意其前提条件是首项不为0,公比不为0,另外,在研究的取值范围时也要注意指数取奇数和取偶数的不同影响,注意分类整合的思想的运用.

(4)(2008浙江省余姚中学)设是的一个极值点，

⑴求与的关系式(用表示)并求的单调区间.

⑵是否存在实数，使得对任意及总有恒成立，若存在求出的范围。若不存在，说明理由.

分析：通过求导研究函数的极值和单调性,但要注意参数的不同取值对研究问题的影响,会对其各种不同的情况进行分类讨论.

解：(1)　　　　　　　　　　　　　

由得　 ∴　 　　　　

令得　　　　　　　　　　　　　　　　

由于是的极值点，故，即

①　　 当时，，故为的单调增区间；　　　　　　 为的单调减区间。　　　　　　　　　　　　　　　　

②　　 当时，，故为的单调增区间；　　　　　　 为的单调减区间。　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)由得，从而知在上单调递减，在上单调递增，的值域为　　　　　　 　　

假设存在实数满足题设，依题意有：

恒成立，即恒成立，

令，则有

，解得，即

评注:本题在导函数值为0时,方程的根的大小问题上产生分歧而需要分类讨论.

(5)(2007全国1理21)已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．

(Ⅰ)设点的坐标为，证明：；

(Ⅱ)求四边形的面积的最小值．

分析: (Ⅰ)可以根据已知条件进行适当的放缩证出. (Ⅱ)由可知四边形的面积为,只需通过解方程组求弦长.对于直线的方程要由点斜式写出,需要考虑其斜率是否存在.

证明：(Ⅰ)椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，故，

所以，．

(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，

；

因为与相交于点，且的斜率为，

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．

(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

综上，四边形的面积的最小值为．

评注:在用直线的点斜式或斜截式写方程时,要根据直线的斜率存在和不存在分两种情况进行讨论.

(6)(山东省济宁市2009)已知函数，，且对于任意实数，恒有

(Ⅰ)的解析式；

(Ⅱ)数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

(Ⅲ)数有几个零点？

分析：本题中可以根据恒等式求得函数的解析式，(Ⅱ)中的函数为单调减函数，则其导数值在区间内恒负，即不等式恒成立,根据函数的图象解答. (Ⅲ)要研究函数的零点,需要通过研究函数的性质即单调性与极值,结合函数的图象,根据不同的位置关系进行分类讨论.

解：(Ⅰ)

根据题意，对于任意实数，恒有

即，即，所以

所以　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)，

∵函数在区间上单调递减，

∴在区间上，即在区间上恒成立.　 ∴，即　　　　　　　　　　　 　　　　

(Ⅲ)，

令，解得或或

当时，；当时，；当时，；当时，

；

①当且，即时，函数没有零点；

②,即时, 函数有两个零点；

③且，即时，函数有四个零点；

④时, 函数有三个零点；

⑤且，即时，函数有两个零点；

综上所述，当时，函数没有零点；当时，函数有四个零点；当时，函数有两个零点　　　　

评注:本题比较综合的考查了函数的性质,以及根据函数的图象进行分类整合,分类的标准就是函数的极值点与轴的位置关系.

10、数列中的分类整合

例17．(2007上海卷，理20)若有穷数列(是正整数)，满足即(是正整数，且)，就称该数列为“对称数列”。

(1)已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项

(2)已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？

(3)对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

分析：本题要正确理解“对称数列”的定义，并根据定义写出数列，求数列的前项和为时，可以按等差数列的求和公式求出，即把转化为求出。(3)中的对称数列，使得成为数列中的连续项，可以有正序、倒序以及中间是一项还是两项等四种不同的情况，只需求出其中一种情况的前2008项和即可。

解：(1)设的公差为，则，解得 ，

　数列为．　　　

(2)

　　　　　 ，　

　　 　，

　　 当时，取得最大值． 的最大值为626．　 　

(3)所有可能的“对称数列”是：

　 　① ；

　　 ② ；

　　 ③ ；

　　 ④ ．　　　　　　　

　对于①，当时，． 　　

　　　 当时，

　　 　．　　　

　对于②，当时，．

　　　 当时，．

对于③，当时，．

　　　 当时，．

　对于④，当时，．

　　　 当时，．

评注：本题的关键是正确理解“对称数列”的定义，并在此基础上把“对称数列”的有关问题转化为等差数列和等比数列的前项和求出。注意考虑问题要全面，分类做到不重不漏。

9、概率中的分类整合

例15．(2008南通四县市)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为．

(1)求直线与圆相切的概率；

(2)将,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

分析：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为会发生的所有情况有36个基本事件，然后再把直线与圆相切的条件写出，从中查出满足条件的基本事件。而围成等腰三角形需要判断谁是底，谁是腰，需要根据的不同取值进行讨论，在讨论时可以以一个为主，一个为辅进行分类。

解：(1)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,事件总数为6×6=36．

∵直线与圆相切的充要条件是

即：，由于

∴满足条件的情况只有；或两种情况．　

∴直线与圆相切的概率是　　　　　

(2)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,事件总数为6×6=36．

∵三角形的一边长为5

∴当时，　　　　　　　 　　1种　　　　　　　

当时，　　　　　　　　　 1种　　　　　　　

当时，　　　 　　2种　　　　　　　

当时，　　 　　2种　　　 　　　　

当时，　 6种　　　　　　　

当a=6时，　　　 　　2种　　　　　　

故满足条件的不同情况共有14种

答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．　　　　

评注：本题中由三角形的形状引发的对字母的不同取值讨论，分类时要按一定的次序进行，做到不重不漏。

例16．(2008福建卷，20)某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率；

(Ⅱ)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，

求的数学期望E.

分析：在这项考试过程中，此人参加考试的次数为，会出现多种情况，， 取2时，说明他一次性通过，顺利拿到毕业证，取3时，说明他需要补考一次，分两种情况，取4时，说明他需要补考两门，分别计算求出。

解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A₂；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A₁·B₁,注意到A₁与B₁相互独立，

则.

答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.

(Ⅱ)由已知得，，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

故

答：该考生参加考试次数的数学期望为.

评注：在求互斥事件的概率和相互独立事件的概率和随机变量的分布列时，常常要根据实际情况分多种不同的情况进行分类讨论。本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

8、由位置关系引发的讨论

例13．(2008广东省深圳中学)已知方程

(1)当时，求方程的各个实根；

(2)若方程

　均在直线的同侧，求实数的取值范围。

分析：本题通过解方程组研究曲线的交点，交点均在直线的同侧，可能在直线的左侧，也可能是直线的右侧，结合函数的图象，把问题转化为特殊点满足的不等式组解答。

解：(1)当时，，解得

(2)

函数的图象相交于两点(2，2)，(-2，-2)

函数的图象相交于两点(1，1)，(-1，-1)

①当时，点的直线的异侧

②当时，要使与的两个交点在同直线的右侧

满足；

当时，要使与的两个交点在同直线的左侧

需满足

所以满足条件的的取值范围是(

评注：本题综合考查方程与函数的数学思想、分类讨论的数学思想

例14．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号，2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有(　　 )

分析：由于本题中有特殊的元素和多余的元素，所以需要根据特殊元素有没有入选进行分类。

解：分三类：(1)不选1号，2号小麦品种，有种选法；

　　　　　 (2)1号，2号小麦品种只选1种，有种不同的选法；

(3)1号，2号小麦品种都选，有种选法。

综上，共有240种选法。

答案：240

评注：在排列组合中，常常遇到不同的情况，需要根据实际进行恰当地分类，分类时要做到不重不漏。

例5．已知，求的值

解析：已知，但不知角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上；应根据的值来确定角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况来求的值。

(1)当，即(此时角的终边在轴上)时，

(2)当，为第一或第三象限角

若角在第三象限，则若角在第三象限，则

(3)当，为第二或第四象限角

若角在第二象限，则若角在第四象限，则

综上所述，当角在第一象限、轴的正方向及第四象限角时，

当角在第二象限、轴的负方向及第三象限角时，

7、由圆锥曲线的范围引发的讨论

例11．(2007上海文)我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．

(1)若是边长为1的等边三角形，求该

“果圆”的方程；

(2)设是“果圆”的半椭圆

上任意一点．求证：当取得最小值时，

在点或处；

(3)若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

分析： 本题中的果圆两部分之间的联系在于有共同的顶点，以此为据求解方程。(2)(3)则由距离公式转化为二次函数研究最值。但要注意圆锥曲线的范围，即得到二次函数的定义域，在其定义域内求函数的最值。

解：(1) ，

，

于是，

所求“果圆”方程为，．　

(2)设，则

　　　　　 ，

　， 的最小值只能在或处取到．

即当取得最小值时，在点或处．　　　　　　　　　　

(3)，且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．　　　　　　　

　　　　　　 ．　

　当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．　　　　　　　　　　　　　　　　

综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．

评注：本题的创意在于把焦点在轴上和焦点在轴上的椭圆联为一体，看似陌生实质为基本知识，要善于发现解决问题的突破口，在把几何问题转化为函数问题时，应该有函数意识，寻求函数的定义域，即圆锥曲线的范围，并在定义域内求值域。

例12．(2007陕西卷，文22)已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

分析：要求三角形的面积，需要由斜截式写出直线的方程，解方程组求弦长和顶点到直线的距离，但用斜截式写方程时要注意其斜率是否存在，不定则需讨论。

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意

，所求椭圆方程为．

(Ⅱ)设，．

(1)当轴时，．

(2)当与轴不垂直时，设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得，

，．

．

当且仅当，即时等号成立．当时，，

综上所述．

当最大时，面积取最大值．

评注：在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在。一般要分情况讨论。

6、参数对函数单调性(极值点)的影响

例10．(2008山东卷，理)设函数，其中．

(Ⅰ)当时，判断函数在定义域上的单调性；

(Ⅱ)求函数的极值点；

(Ⅲ)证明对任意的正整数，不等式都成立．

分析：先求得函数的定义域，再通过判断导函数的正负来确定函数的单调性，函数的单调性是在的前提下完成的，由(Ⅰ)可知在(Ⅱ)中求函数的极值点需要对的取值以为界限分类判断。另外还要注意到函数的定义域，需要对求出的极值点是否在定义域内作出判断。(Ⅲ)可通过观察不等式与所给函数的关系，就不难发现它们之间的联系，实质上当，时，，需要构造函数即可。

解：(I) 函数的定义域为.

，

令，则在上递增，在上递减，

.当时，，

在上恒成立.

即当时,函数在定义域上单调递增。

(II)分以下几种情形讨论：(1)由(I)知当时函数无极值点.

(2)当时，，时，

时，时，函数在上无极值点。

(3)当时，解得两个不同解，.

当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.

当时，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此时有一个极大值点和一个极小值点.

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，函数在上无极值点。

(III) 当时，

令则在上恒正，

在上单调递增，当时，恒有.

即当时，有，

对任意正整数，取得

评注：本题考查函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。求导是判断函数的单调性和求极值的最有效的方法。(II)需要分类讨论，由(I)可知分类的标准为(III)构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。注意参数的取值范围对函数的单调性的影响，必要时要进行分类讨论。