摘要：7．预测题 在上定义的函数是偶函数.且.若在区间是减函数.则函数 A.在区间上是增函数.区间上是增函数 B.在区间上是增函数.区间上是减函数 C.在区间上是减函数.区间上是增函数 D.在区间上是减函数.区间上是减函数 分析:本题为抽象函数.可以从函数的性质入手.研究函数的单调性和周期以及图象.也可以具体化.把一般转为特殊.取符合条件的特殊的例子解答. 解法一:因为函数在上是偶函数.在区间是减函数.可知函数在区间上是增函数.并且.由此知为以2为周期的周期函数.所以在区间上的单调性与在区间是一致的.是减函数.故选B 解法二:由知函数图象关于对称.又因为函数在上是偶函数.图象又关于对称.于是可以作如图所示的示意图. 从图中判断.选择B. 答案:B 评注:解法一利用性质解答.解法二把一般转化为特殊. 结合图形一目了然.不适为好的方法. 过抛物线的焦点.作直线与此抛物线相交于两点P和Q.那么线段PQ中点的轨迹方程是( ) (A) (B) (C) (D) 分析:本题中的直线任意.可以先取特殊情况.当线段PQ为抛物线的通径时.其中点就是焦点.即焦点应在所求的轨迹上适合方程. 解:抛物线的焦点为.直线过抛物线的焦点.当时.线段PQ中点为由已知可知轨迹曲线的顶点为 .开口向上.由此排除答案A.C.D.所以选B, 另解:抛物线的焦点为.设过焦点的直线.则.消y得:.中点坐标有.消得.选B. 评注:通过比较即可看出取特殊位置时解法比较简单. (3)设.则大小关系是 , 分析:已知条件中的任意.可以取特殊值进行比较. 解:考虑到三个数的大小关系是确定的.不妨令:. 评注:利用取特殊值法时.所取的值要满足条件.简单而且便于计算.有区分度才有利于解答问题. (4)．设是公比为的等比数列.是它的前项和.若是等差数列.则= , 分析:由于等比数列的前项和公式使用时需要分两种情况.当时和当时.所以首先想到 解:因为非零的常数列是公比为1的等比数列.且前n项和数列{nc}是公差为的等差数列.可知q=1. 评注:注意有些问题的出发点往往很简单.但如果直接计算则相当的麻烦.可以从特殊值或特殊数列入手解答问题. (5)由下列各式: 你能得出怎样的结论.并进行证明. 分析:对所给各式进行比较观察.注意各不等式左边的最后一项的分母特点:....-.一般地. 第个式子的最后一项的分母为.对应各式右端为. 解:归纳得一般结论 证明:当n=1时.结论显然成立. 当n≥2时. 故结论得证. 评注:本题由特殊归纳出一般性的结论.在归纳时要总结每个式子的特点.随着序号发生怎样地变化.得出结论后.又用放缩法给出证明.也可以用数学归纳法给出证明. (6)．设二次函数满足条件: ①当时..且, ②当时. ③在上的最小值为0. 求最大值.使得存在.只要.就有 分析:本题先根据题设求出函数解析式.然后假设存在.取得的范围.再令求出的取值范围.进而根据的范围求出的最大值. 解法一:∵.∴函数的图象关于对称 ∴ 即 由③知当时,.即, 由①得 .由②得 . ∴.即. 又.∴. ∴. 假设存在.只要.就有. 取时.有. 对固定的.取.有: . ∴≤=9. 当时.对任意的. 恒有. ∴的最大值为9. 解法二:∵.∴函数的图象关于对称 ∴ 即 由③知当时,.即, 由①得 .由②得 . ∴.即. 又.∴. ∴. 由 在上恒成立 ∴当时.恒成立, 令 有 令有当时.恒有解, 令得.. 即当时.任取恒有. ∴ 评注:本题属于存在性探索问题.处理这道题的方法就是通过的特殊值得出的大致范围.然后根据的范围.再对取特殊值.从而解决问题.

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