摘要：由圆锥曲线的范围引发的讨论 例11．我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆 .其中..．如图.设点..是相应椭圆的焦点..和.是“果圆 与.轴的交点.是线段的中点． (1)若是边长为1的等边三角形.求该 “果圆 的方程, (2)设是“果圆 的半椭圆 上任意一点．求证:当取得最小值时. 在点或处, (3)若是“果圆 上任意一点.求取得最小值时点的横坐标． 分析: 本题中的果圆两部分之间的联系在于有共同的顶点.以此为据求解方程.则由距离公式转化为二次函数研究最值.但要注意圆锥曲线的范围.即得到二次函数的定义域.在其定义域内求函数的最值. 解:(1) . . 于是. 所求“果圆 方程为.． (2)设.则 . . 的最小值只能在或处取到． 即当取得最小值时.在点或处． (3).且和同时位于“果圆 的半椭圆和半椭圆上.所以.由(2)知.只需研究位于“果圆 的半椭圆上的情形即可． ． 当.即时.的最小值在时取到. 此时的横坐标是． 当.即时.由于在时是递减的.的最小值在时取到.此时的横坐标是． 综上所述.若.当取得最小值时.点的横坐标是,若.当取得最小值时.点的横坐标是或． 评注:本题的创意在于把焦点在轴上和焦点在轴上的椭圆联为一体.看似陌生实质为基本知识.要善于发现解决问题的突破口.在把几何问题转化为函数问题时.应该有函数意识.寻求函数的定义域.即圆锥曲线的范围.并在定义域内求值域. 例12．已知椭圆C:=1的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A.B两点.坐标原点O到直线l的距离为.求△AOB面积的最大值. 分析:要求三角形的面积.需要由斜截式写出直线的方程.解方程组求弦长和顶点到直线的距离.但用斜截式写方程时要注意其斜率是否存在.不定则需讨论. 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为.依题意 .所求椭圆方程为． (Ⅱ)设.． (1)当轴时.． (2)当与轴不垂直时.设直线的方程为． 由已知.得． 把代入椭圆方程.整理得. .． ． 当且仅当.即时等号成立．当时.. 综上所述． 当最大时.面积取最大值． 评注:在研究直线与圆锥曲线的位置关系时.要注意直线的斜率是否存在.一般要分情况讨论.

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