摘要：概率中的分类整合 例15．先后2次抛掷一枚骰子.将得到的点数分别记为． (1)求直线与圆相切的概率, (2)将,5的值分别作为三条线段的长.求这三条线段能围成等腰三角形的概率． 分析:先后2次抛掷一枚骰子.将得到的点数分别记为会发生的所有情况有36个基本事件.然后再把直线与圆相切的条件写出.从中查出满足条件的基本事件.而围成等腰三角形需要判断谁是底.谁是腰.需要根据的不同取值进行讨论.在讨论时可以以一个为主.一个为辅进行分类. 解:(1)先后2次抛掷一枚骰子.将得到的点数分别记为,事件总数为6×6=36． ∵直线与圆相切的充要条件是 即:.由于 ∴满足条件的情况只有,或两种情况． ∴直线与圆相切的概率是 (2)先后2次抛掷一枚骰子.将得到的点数分别记为,事件总数为6×6=36． ∵三角形的一边长为5 ∴当时. 1种 当时. 1种 当时. 2种 当时. 2种 当时. 6种 当a=6时. 2种 故满足条件的不同情况共有14种 答:三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为． 评注:本题中由三角形的形状引发的对字母的不同取值讨论.分类时要按一定的次序进行.做到不重不漏. 例16．某项考试按科目A.科目B依次进行.只有当科目A成绩合格时.才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会.两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试.科目A每次考试成绩合格的概率均为.科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率, (Ⅱ)在这项考试过程中.假设他不放弃所有的考试机会.记他参加考试的次数为. 求的数学期望E. 分析:在这项考试过程中.此人参加考试的次数为.会出现多种情况.. 取2时.说明他一次性通过.顺利拿到毕业证.取3时.说明他需要补考一次.分两种情况.取4时.说明他需要补考两门.分别计算求出. 解:设“科目A第一次考试合格 为事件A.“科目A补考合格 为事件A2,“科目B第一次考试合格 为事件B.“科目B补考合格 为事件B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立. 则. 答:该考生不需要补考就获得证书的概率为. (Ⅱ)由已知得..注意到各事件之间的独立性与互斥性.可得 故 答:该考生参加考试次数的数学期望为. 评注:在求互斥事件的概率和相互独立事件的概率和随机变量的分布列时.常常要根据实际情况分多种不同的情况进行分类讨论.本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

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