摘要：(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)设三次函数在处取得极值.其图象在处的切线的斜率为. (Ⅰ)求证:, (Ⅱ)若函数在区间上单调递增.求的取值范围, (Ⅲ)问是否存在实数(是与无关的常数).当时.恒有恒成立?若存在.试求出的最小值,若不存在.请说明理由. 解:(Ⅰ)方法一. .由题设.得 ① ② ∵.∴.∴. 由①代入②得.∴. 得∴或 ③ 将代入中.得 ④ 由③.④得, 方法二.同上可得:将(1)变为:代入(2)可得:.所以.则 方法三:同上可得:将(1)变为:代入(2)可得:.显然.所以 因为图象的开口向下.且有一根为x1=1 由韦达定理得, ,所以.即.则.由得: 所以: 方法四:由得:且.由此可知 知.的判别式Δ= ∴方程有两个不等的实根. 又,∴. ∴当或时..当时.. ∴函数的单调增区间是.∴.由知. ∵函数在区间上单调递增.∴.∴.即的取值范围是, (Ⅲ)由.即.∵..∴.∴或.由题意.得.∴.∴存在实数满足条件.即的最小值为.

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