8．(文)(2009·天津高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，

PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为

PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.

(1)证明PA∥平面BDE；

(2)证明AC⊥平面PBD；

解：(1)证明：设AC∩BD＝H，

连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分

∠ADC，所以H为AC的中点．

又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.

又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，

所以PA∥平面BDE.

(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以PD⊥AC.

由(1)可得，DB⊥AC.

又PD∩DB＝D，

故AC⊥平面PBD.

(理)(2009·北京高考)如图，在三棱锥

P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，

∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E

分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

(3)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．

解：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.

(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，

∴DE＝BC.

又由(1)知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.

又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，

∴AD＝AB.

在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB，

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝，

即AD与平面PAC所成角的正弦值为.

(3)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC.

又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，

∴∠PAC＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.

这时，∠AEP＝90°，

故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角．

7．如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD

的垂线，垂足为点H，则下列命题中错误的是(　)

A．点H是△A₁BD的垂心

B．AH垂直于平面CB₁D₁

C．AH的延长线经过点C₁

D．直线AH和BB₁所成角为45°

解析：因为三棱锥A－A₁BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A₁BD∥平面CB₁D₁，而AH垂直于平面A₁BD，所以AH垂直于平面CB₁D₁，B正确；根据对称性知C正确．

答案：D

6.(2010·岳阳模拟)设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β

B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c

C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α

D．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a

解析：C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面．

答案：C

5．(2009·苏北模拟)在四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，

SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点．

(1)求证：平面SEF⊥平面ABCD；

(2)若平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.

解：(1)证明：由SA＝SB，E为AB中点得SE⊥AB.

由SC＝SD，F为CD中点得SF⊥DC.

又AB∥DC，∴AB⊥SF.

又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEF.

又∵AB⊂平面ABCD，

∴平面SEF⊥平面ABCD.

(2)∵AB∥CD，CD⊂面SCD，

∴AB∥平面SCD.

又∵平面SAB∩平面SCD＝l，

根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l.

4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)

3．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．

①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；

②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；

③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；

④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.

解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．

答案：①④

2．(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

∠BAC＝90°，BC₁⊥AC，则C₁在底面ABC上的

射影H必在　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

解析：由AC⊥AB，AC⊥BC₁，得AC⊥平面ABC₁，AC⊂平面ABC，∴平面ABC₁⊥平面ABC，C₁在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．

答案：A

1.(2010·宣武模拟)若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．a∥β，α⊥β　　　 　　B．a⊂β，α⊥β

C．a⊥b，b∥α 　　　　　　　　　D．a⊥β，α∥β

解析：只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α.

答案：D

7．(2009·江西高考)体积为8的一个正方体，其表面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．

解析：设正方体棱长为a，则a³＝8，∴a＝2.

∵S_正方体＝S_球，∴6×2²＝4πR²，∴R＝ .

V_球＝πR³＝π( )³＝.

6.(2009·全国卷Ⅱ)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于，则球O的表面积等于________．

解析：设圆C的半径为r，有πr²＝.得r²＝.又设球的半径为R，如图所示，有|OB|＝R，

|OC|＝·＝R，|CB|＝r.

在Rt△OCB中，

有|OB|²＝|OC|²+|CB|²，

即R²＝R²+r²⇒R²＝，

∴R²＝2，∴S_球＝4πR²＝8π.

答案：8π