22．(本小题满分14分)

　　　 已知

(I)已知数列极限存在且大于零，求(将A用a表示)；

(II)设

(III)若都成立，求a的取值范围.

本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

　　　 解：(I)由

　　　 (II)

　　　 (III)

　　　 (i)当n=1时结论成立(已验证).

　　　 (ii)假设当

　　　 故只须证明

　　　 即n=k+1时结论成立.

　　　 根据(i)和(ii)可知结论对一切正整数都成立.

　　　 故

21．(本小题满分12分)

　　　 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成

400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施

所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9

和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防

方案使总费用最少.

　　　 (总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.)

本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.

解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120(万元)；

　　　　 ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为

1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85(万元)

③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90(万元)；

④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元).

综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.

2．湖北·理

22．(本小题满分12分)

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

解：(Ⅰ)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依题意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，　　　　　 ①

得y＇=x.

∴过点P的切线的斜率k_切= x₁，

∴直线l的斜率k_l=－=-，

∴直线l的方程为y－x₁²=－ (x－x₁)，

方法一：

联立①②消去y，得x²+x－x₁²－2=0.

∵M是PQ的中点

　　　　　 x₀==-，

∴

　　　　　 y₀=x₁²－(x₀－x₁).

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

方法二：

由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，

得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂)，

则x₀==k_l=-，

∴x₁=－，

将上式代入②并整理，得

y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).

分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则

.

　　　　　 y=x²

由　　　　　　 消去x，得y²－2(k²+b)y+b²=0.　　　 ③

　　　　　 y=kx+b

　　　　　 y₁+y₂=2(k²+b)，

则

　　　　　 y₁y₂=b².

方法一：

∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，

∴的取值范围是(2，+).

方法二：

∴=|b|=|b|.

当b>0时，=b==+2>2；

当b<0时，=－b=.

又由方程③有两个相异实根，得△=4(k²+b)²-4b²=4k²(k²+2b)>0，

于是k²+2b>0，即k²>－2b.

所以>=2.

∵当b>0时，可取一切正数，

∴的取值范围是(2，+).

方法三：

由P、Q、T三点共线得k_TQ=K_TP，

即=.

则x₁y₂－bx₁=x₂y₁－bx₂，即b(x₂－x₁)=(x₂y₁－x₁y₂).

于是b==－x₁x₂.

∵可取一切不等于1的正数，

∴的取值范围是(2，+).

1．[福建·理]21．(本小题满分14分)

　　 已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.

(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A；

(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合(及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.)

解：(Ⅰ)f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.　　　　 ①

设(x)=x²－ax－2，

方法一：

　　　　　 (1)=1－a－2≤0，

①　 　　　　　－1≤a≤1，

　　　　　　　 (－1)=1+a－2≤0.

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.　　　 方法二：

　　　 ≥0，　　　　　　　　　 <0，

①　　　　　　　　　　 或

　　　　　 (－1)=1+a－2≤0　　　　　 (1)=1－a－2≤0

　　　 0≤a≤1　　　　 或　　　 －1≤a≤0

　　　 －1≤a≤1.

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

(Ⅱ)由=，得x²－ax－2=0，　 ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，

　　　　　　 x₁+x₂=a，

∴　　　　　 从而|x₁－x₂|==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.　　　　 ②

设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

　　 g(－1)=m²－m－2≥0，

②　

　　　　 g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m≠0时，

　　　 m>0，　　　　　　　　 m<0，

②　　　　　　　　　 或

　　　 g(－1)=m²－m－2≥0　　　 g(1)=m²+m－2≥0

m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

16．酸雨主要是大量燃烧含硫燃料释放出SO₂所造成的，试回答下列问题：

(1)现有雨水样品1份，每隔一段时间测定该雨水样品的pH，所得数据如下：

分析数据，回答下列问题：

①雨水样品的pH值变化的原因是(用化学方程式表示)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

②如果将刚取样的上述雨水和自来水相混合，pH将变　　　　 ，原因是(用化学方程式表示)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 。

(2)你认为减少酸雨产生的途径可采用的措施是　　　　　　　　　　 。

①少用煤作燃料②把工厂烟囱造高③燃料脱硫④在已酸化的士壤中加石灰⑤开发新能源

A．①②③B．②③④⑤C．①③⑤D．①③④⑤

(3)有人在英国进行的一项研究结果表明。高烟囱可以有效地降低地表面SO₂浓度。在20世纪的60年代-70年代的10年间，由发电厂排放出的SO₂增加了35%，但由于建筑高烟囱的结果，地面浓度降低了30%之多。请你从全球环境保护的角度，分析这种方法是否可取?简述其理由。

15．下图是有关硫及其化合物的实验装置：

实验中用到的试剂可在下列试剂中选择：

①浓H₂SO₄；②70%的硫酸；③25%的H₂SO₄；④新开封的Na₂SO₃粉末；⑤硫化亚铁；⑥NaOH溶液；⑦溴水；⑧Na₂CO₃溶液。在实验开始后不久即在B瓶中出现固体粉末状物质。试回答：

(1)A中分液漏斗盛放的试剂是　　　　　　　　 ，平底烧瓶中盛有的试剂是　　　　　　　 。其中实验开始时反应的化学方程式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(2)B中反应的化学方程式是　　　　　　　 ，反应中氧化产物与还原产物的物质的量之比是　　　　　 。

(3)E(启普发生器)中盛有的两种试剂发生反应的化学方程式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(4)如果A、E两装置气体发生的速度相同，流量也相同，则在D中发生反应的化学方程式是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 。

(5)D的作用是　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，C的作用是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

14．长期存放的亚硫酸钠可能会被部分氧化，现通过实验来测定某无水亚硫酸钠试剂的纯度。实验步骤如下：①称量ng样品，置于烧杯中②加入适量蒸馏水，使样品溶解③加入稀盐酸，使溶液呈强酸性，再加过量的BaCl₂溶液④过滤，用蒸馏水洗涤沉淀⑤加热干燥沉淀物⑥将沉淀物冷却至室温后，称量⑦重复⑤、⑥操作直到合格，最后得到6g固体

回答下面问题：

(1)本实验中是否能用Ba(NO₃)₂代替BaCl₂?其理由是　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(2)步骤③中加盐酸使溶液呈强酸性的目的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(3)步骤⑦的“合格”标准是　　　　　　　　 。

(4)实验测得样品中无水亚硫酸钠的质量分数是：　　　　　　　　　　　　　　　 。(列出算式，不需化简)

13．X、Y、Z是短周期元素的三种常见氧化物。X跟水反应后可生成一种具有还原性的不稳定的二元酸，该酸的化学式是 　　　　　　　 ；Y和X的组成元素相同，Y的化学式是　　　　　　　 ；lmolZ在加热时跟水反应的产物需要用6mol的氢氧化钠才能完全中和，在一定条件下，Y可以跟非金属单质A反应生成X和Z，单质A是　　　　　　　 。

12．下列溶液中，不能区别SO₂和CO₂气体的是(　 )

①石灰水②H₂S溶液③KMnO₄溶液④溴水⑤酸化的Ba(NO₃)₂溶液⑥品红溶液

A．①②③⑤　　　　　　　 B．②③④⑤　　　　　　　 C．只有①　　　　　　　　　 D．①③