5．(2009·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm³.

解析：由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3 cm，高为1 cm的长方体构成，故其体积为2(3×3×1)＝18(cm³)．

答案：18

4．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．96　 　　　　　B．16　 　　　　　C．24　 　　　　　D．48

解析：由πR³＝，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4.

∴V＝(4)²·4＝48.

答案：D

3.长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是　　　　　　　　 (　)

A．6 　　　　B．3 　　　　　C．11 　　　　　D．12

解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有

ab＝2，bc＝6，ac＝9，∴V＝＝＝6.

答案：A

2．(2010·珠海模拟)已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是　　　　　　　 (　)

A．4+　 　　　　B．2+　　　　　 C．3+ 　　　　　D．6

解析：由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱．S_表＝S_侧+

2S_底＝(1+1+)×1+2××1×1＝3+.

答案：C

1.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是　　 (　)

A.a²　　　　　B.a²

C.a² 　D.a²

解析：设正三棱锥的侧棱长为b，则由条件知b²＝a²，

∴S_表＝a²+3××a²＝a².

答案：A

9．(2010·大连模拟)如图所示，三棱锥P－ABC中，

PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，

E是PC的中点．

(1)(文)求证AE与PB是异面直线．

(理)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；

(2)求三棱锥A－EBC的体积．

解：(1)(文)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，

∵A∈α，B∈α，E∈α，

∴平面α即为平面ABE，

∴P∈平面ABE，

这与P∉平面ABE矛盾，

所以AE与PB是异面直线．

(理)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，

所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．

∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，

∴AF＝，AE＝，EF＝；

cos∠AEF＝＝，

所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.

(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA＝1，

V_A－EBC＝V_E－ABC＝×(×2×2×)×1＝.

8.(2010·淄博模拟)在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的侧面AB₁内有一动点P到直线A₁B₁与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为　　　　　　　　　　　　 (　)

解析：到定点B的距离等于到直线A₁B₁的距离，所以动点P的轨迹是以B为焦点，以A₁B₁为准线的过A的抛物线的一部分．

答案：C

7．如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AB＝2，

AD＝1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中

点．求异面直线A₁E与GF所成角的大小．

解：连结B₁G，EG，

由于E、G分别是DD₁和CC₁的中点，

∴EG綊C₁D₁，而C₁D₁綊A₁B₁，

∴EG綊A₁B₁，

∴四边形EGB₁A₁是平行四边形．

∴A₁E∥B₁G，从而∠B₁GF为异面直线所成角，

连结B₁F，则FG＝，B₁G＝，B₁F＝，

由FG²+B₁G²＝B₁F²，

∴∠B₁GF＝90°，

即异面直线A₁E与GF所成的角为90°.

6．(文)如图所示，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB₁、BC₁的中点，则以下结论中不成立的是　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．EF与BB₁垂直　 　　　　　　　　　　　B．EF与BD垂直

C．EF与CD异面　 　　　　　　　　　　　D．EF与A₁C₁异面

解析：设AB的中点为E₁，BC的中点为F₁，

则EF∥E₁F₁，

而E₁F₁⊥BD，E₁F₁⊥BB₁

∴EF⊥BB₁，EF⊥BD，

∴A、B项正确．

又由EF∥E₁F₁知EF∥平面ABCD

∴EF与CD异面，C项正确．

∴易知EF∥A₁C₁，D项错误．

答案：D

(理)(2010·南昌模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁

中，D是AC的中点，AA₁∶AB＝∶1，则异面直线AB₁

与BD所成的角为________．

解析：取A₁C₁的中点D₁，连结B₁D₁，

由于D是AC的中点，∴B₁D₁∥BD，

∴∠AB₁D₁即为异面直线AB₁与BD所成的角．

连结AD₁，设AB＝a，则AA₁＝a，

∴AB₁＝a，B₁D₁＝a，AD₁＝ ＝a.

∴cos∠AB₁D₁＝＝，

∴∠AB₁D₁＝60°.

答案：60°

5．(2010·沈阳模拟)正方体AC₁中，E、F分别是线段BC、C₁D的中点，则直线A₁B与

直线EF的位置关系是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．相交 　　　　　　B．异面　　　　　 C．平行　 　　　　　　　D．垂直

解析：如图所示，直线A₁B与直线外一点E确定的平面为A₁BCD₁，EF⊂平面A₁BCD₁，且两直线不平行，故两直线相交．

答案：A