1.一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD，那么图②四个图形中是截面的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

解析：因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB、MN无公共点，又AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM，又AB⊥CD，∴截面必为矩形．

答案：A

22．(文)(本小题满分14分)(2009·山东高考)如图，

在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD

为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，

AA₁＝2，E、E₁分别是棱AD、AA₁的中点．

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；

(2)证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

解：(1)证明：法一：取A₁B₁的中点为F₁，连结FF₁、C₁F₁，

由于FF₁∥BB₁∥CC₁，所以F₁∈平面FCC₁，

因此平面FCC₁即为平面C₁CFF₁.

连结A₁D、F₁C，

由于A₁F₁綊D₁C₁綊CD，

所以四边形A₁DCF₁为平行四边形，

因此A₁D∥F₁C.

又EE₁∥A₁D，得EE₁∥F₁C，

而EE₁⊄平面FCC₁，F₁C⊂平面FCC₁，

故EE₁∥平面FCC₁.

法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，

所以CD綊AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，

所以AD∥FC.

又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁＝C，FC⊂平面FCC₁，CC₁⊂平面FCC₁，

所以平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，

又EE₁⊂平面ADD₁A₁，

所以EE₁∥平面FCC₁.

(2)证明：连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，

又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB，

因此∠ACB＝90°，

即AC⊥BC.

又AC⊥CC₁，且CC₁∩BC＝C，

所以AC⊥平面BB₁C₁C，

而AC⊂平面D₁AC，

故平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

(理)(本小题满分14分)(2009·沈阳模拟)已知四棱锥

S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面

ABCD，E是SC上的任意一点．

(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；

(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

(3)当的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？

解：(1)∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴SA⊥BD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，∴BD⊥ 平面SAC，

∵BD⊂平面EBD，

∴平面EBD⊥平面SAC.

(2)设AC∩BD＝F，连结SF，则SF⊥BD，

∵AB＝2，SA＝4，∴BD＝2，

SF＝＝＝3，

∴S_△SBD＝BD·SF＝·2·3＝6，

设点A到平面SBD的距离为h，

∵SA⊥平面ABCD，

∴·S_△SBD·h＝·S_△ABD·SA，

∴6·h＝·2·2·4，∴h＝，

即点A到平面SBD的距离为.

(3)设SA＝a，以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB＝1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，

∴＝(1,1，－a)，＝(1,0，－a)，＝(0,1，－a)，

再设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，n₂＝(x₂，y₂，z₂)，

则

∴y₁＝0，从而可取x₁＝a，则z₁＝1，∴n₁＝(a,0,1)，

∴x₂＝0，从而可取y₂＝a，则z₂＝1，∴n₂＝(0，a,1)，

∴cos〈n₁，n₂〉＝，

要使二面角B－SC－D的大小为120°，则＝，从而a＝1，

即当＝＝1时，二面角B－SC－D的大小为120°.

21．(文)(本小题满分12分)(2010·徐州模拟)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E、F分别是AB、PD的中点．

(1)求证：AF∥平面PCE；

(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；

(3)求四面体PEFC的体积．

解：(1)证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，

∵F为PD的中点，E为AB的中点，

∴FG綊CD，AE綊CD

∴FG綊AE，∴AF∥GE

∴GE⊆平面PEC，

∴AF∥平面PCE；

(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD

∴PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，

∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AF⊆平面PAD，∴AF⊥CD

∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，

∴GE⊥平面PCD，

∵GE⊆平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD；

(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，

所以EG为四面体PEFC的高，

又GF∥CD，所以GF⊥PD，

EG＝AF＝，GF＝CD＝，

S_△PCF＝PD·GF＝2.

得四面体PEFC的体积V＝S_△PCF·EG＝.

(理)(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱

ABC－A₁B₁C₁中，AB＝1，AC＝AA₁＝，

∠ABC＝60°.

(1)证明：AB⊥A₁C；

(2)求二面角A－A₁C－B的余弦值．

解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AB⊥AA₁，

在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，

由正弦定理得∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，

∴AB⊥平面ACC₁A₁，

又A₁C⊂平面ACC₁A₁，

∴AB⊥A₁C.

(2)如图，作AD⊥A₁C交A₁C于D点，连结BD，

由三垂线定理知BD⊥A₁C，

∴∠ADB为二面角A－A₁C－B的平面角．

在Rt△AA₁C中，AD＝＝＝，

在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，

∴cos∠ADB＝，

即二面角A－A₁C－B的余弦值为.

法二：(1)证明：∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁为直棱柱，

∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC.

在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，

由正弦定理得∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.

如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A₁(0,0，)，

∴＝(1,0,0)，

＝(0，，－)．

∵·＝1×0+0×+0×(－)＝0，

∴AB⊥A₁C.

(2)如图，可取m＝＝(1,0,0)为平面AA₁C的法向量，设平面A₁BC的法向量为n＝(l，m，n)，

则·n＝0，·n＝0，

又＝(－1，，0)，＝(0，，－)．

∴∴l＝m，n＝m.

不妨取m＝1，则n＝(，1,1)．

cos〈m，n〉＝

＝＝，

∴二面角A－A₁C－B的余弦值为.

20．(本小题满分12分)(2010·泉州模拟)如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2)证明：BD∥面PEC；

(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.

解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是

边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，

且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，

∴V_P－ABCD＝PA_xS_ABCD＝×4×4×4＝.

(2)证明：连接AC、BD交于O点，取PC中点F，连接OF，

∵EB∥PA，且EB＝PA，又OF∥PA，且OF＝PA，

∴EB∥OF，且EB＝OF，

∴EBOF为平行四边形，

∴EF∥BD.

又EF⊂面PEC，BD⊄面PEC，所以BD∥面PEC.

(3)连BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，

∴∠PBA+∠BAE＝∠BEA+∠BAE＝90°，

∴PB⊥AE.

又∵BC⊥面APEB，∴BC⊥AE，

∴AE⊥面PBG，∴AE⊥PG.

19．(本小题满分12分)(2010·广州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直(图1)，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．

(1)根据图2所给的正视图、侧视图画出相应的俯视图，

并求出该俯视图的面积．

(2)图3中，E为棱PB上的点，F为底面对角线AC上

的点，且＝，求证：EF∥平面PDA.

解：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm的正

方形，如图．其面积为36 cm².

(2)证明：连结BF并延长交AD于G，连结PG，

则在正方形ABCD中，＝.

又＝，∴＝，

∴在△BGP中，EF∥PG.

又EF⊄平面PDA，PG⊂平面PDA，

∴EF∥平面PDA.

18．(本小题满分12分)在正四棱锥P－ABCD

中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成的

角为60°，求正四棱锥P－ABCD的体积V.

解：作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结AO，

O是正方形ABCD的中心，∠PAO是直线PA

与平面ABCD所成的角．

∠PAO＝60°，PA＝2.

∴PO＝.

AO＝1，AB＝，

∴V＝PO·S_ABCD

＝××2＝.

17．(本小题满分12分)如图，已知点P在圆柱OO₁

的底面圆O上，AB、A₁B₁分别为圆O、圆O₁

的直径且A₁A⊥平面PAB.

(1)求证：BP⊥A₁P；

(2)若圆柱OO₁的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP

＝120°，求三棱锥A₁－APB的体积．

解：(1)证明：易知AP⊥BP，由AA₁⊥平面PAB，得AA₁⊥BP，且AP∩AA₁＝A，

所以BP⊥平面PAA₁，

故BP⊥A₁P.

(2)由题意V＝π·OA²·AA₁＝4π·AA₁＝12π，

解得AA₁＝3.

由OA＝2，∠AOP＝120°，得

∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，

∴S_△PAB＝×2×2＝2，

∴三棱锥A₁－APB的体积V＝S_△PAB·AA₁＝×2×3＝2.

16．(2010·日照模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD

的底面是一直角梯形，AB∥CD，CD＝2AB，

E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置

关系为________．

解析：取PD的中点F，连结EF，AF，由题中条件易得四边形ABEF为平行四边形，从而进一步可推出BE∥AF，根据线面平行的判定定理可得BE∥平面PAD(或取CD的中点M，连结EM，BM，由条件可推出平面BEM∥平面PAD，进一步也可得出BE∥平面PAD)．

答案：平行

15．(文)点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P₁，P关于坐标平面xOz的对称点为P₂，则|P₁P₂|＝________.

解析：∵P₁(－1,2，－3)，P₂(1，－2,3)，

∴|P₁P₂|＝

＝2.

答案：2

(理)在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，， }为基底，则＝________.

解析：由题意，连结AE，

则＝－

＝+－

＝+(－)

－×(→+)

＝－+－.

答案：－－

14．(文)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．

解析：如下图，作CH⊥AB于H，连PH，

∵PC⊥面ABC，

∴PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于2.

答案：2

(理)(2010·潍坊质检)正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝4，AA₁＝2，D为A₁B₁的中点，则AD与平面ACC₁A₁所成角等于________．

解析：如图，在平面A₁B₁C₁内过点D作DF⊥A₁C₁于F，连结AF，则由该三棱柱是正三棱柱知DF⊥平面AA₁C₁C，∠DAF即为AD与平面ACC₁A₁所成的角，根据题目条件在Rt△AFD中可求得AD＝2，DF＝，所以∠DAF＝.

答案：