摘要：22．如图. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.底面ABCD 为等腰梯形.AB∥CD.AB＝4.BC＝CD＝2. AA1＝2.E.E1分别是棱AD.AA1的中点． (1)设F是棱AB的中点.证明:直线EE1∥平面FCC1, (2)证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C. 解:(1)证明:法一:取A1B1的中点为F1.连结FF1.C1F1. 由于FF1∥BB1∥CC1.所以F1∈平面FCC1. 因此平面FCC1即为平面C1CFF1. 连结A1D.F1C. 由于A1F1綊D1C1綊CD. 所以四边形A1DCF1为平行四边形. 因此A1D∥F1C. 又EE1∥A1D.得EE1∥F1C. 而EE1⊄平面FCC1.F1C⊂平面FCC1. 故EE1∥平面FCC1. 法二:因为F为AB的中点.CD＝2.AB＝4.AB∥CD. 所以CD綊AF. 因此四边形AFCD为平行四边形. 所以AD∥FC. 又CC1∥DD1.FC∩CC1＝C.FC⊂平面FCC1.CC1⊂平面FCC1. 所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1⊂平面ADD1A1. 所以EE1∥平面FCC1. (2)证明:连结AC.在△FBC中.FC＝BC＝FB. 又F为AB的中点.所以AF＝FC＝FB. 因此∠ACB＝90°. 即AC⊥BC. 又AC⊥CC1.且CC1∩BC＝C. 所以AC⊥平面BB1C1C. 而AC⊂平面D1AC. 故平面D1AC⊥平面BB1C1C. 已知四棱锥 S-ABCD的底面ABCD是正方形.SA⊥底面 ABCD.E是SC上的任意一点． (1)求证:平面EBD⊥平面SAC, (2)设SA＝4.AB＝2.求点A到平面SBD的距离, (3)当的值为多少时.二面角B-SC-D的大小为120°? 解:(1)∵SA⊥平面ABCD.BD⊂平面ABCD. ∴SA⊥BD. ∵四边形ABCD是正方形. ∴AC⊥BD.∴BD⊥ 平面SAC. ∵BD⊂平面EBD. ∴平面EBD⊥平面SAC. (2)设AC∩BD＝F.连结SF.则SF⊥BD. ∵AB＝2.SA＝4.∴BD＝2. SF＝＝＝3. ∴S△SBD＝BD·SF＝·2·3＝6. 设点A到平面SBD的距离为h. ∵SA⊥平面ABCD. ∴·S△SBD·h＝·S△ABD·SA. ∴6·h＝·2·2·4.∴h＝. 即点A到平面SBD的距离为. (3)设SA＝a.以A为原点.AB.AD.AS所在直线分别为x.y.z轴建立空间直角坐标系.为计算方便.不妨设AB＝1.则C.S(0,0.a).B.D. ∴＝(1,1.-a).＝(1,0.-a).＝(0,1.-a). 再设平面SBC.平面SCD的法向量分别为n1＝(x1.y1.z1).n2＝(x2.y2.z2). 则 ∴y1＝0.从而可取x1＝a.则z1＝1.∴n1＝(a,0,1). ∴x2＝0.从而可取y2＝a.则z2＝1.∴n2＝(0.a,1). ∴cos〈n1.n2〉＝. 要使二面角B-SC-D的大小为120°.则＝.从而a＝1. 即当＝＝1时.二面角B-SC-D的大小为120°.

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