摘要：21．如图.PA垂直于矩形ABCD所在的平面.AD＝PA＝2.CD＝2.E.F分别是AB.PD的中点． (1)求证:AF∥平面PCE, (2)求证:平面PCE⊥平面PCD, (3)求四面体PEFC的体积． 解:(1)证明:设G为PC的中点.连接FG.EG. ∵F为PD的中点.E为AB的中点. ∴FG綊CD.AE綊CD ∴FG綊AE.∴AF∥GE ∴GE⊆平面PEC. ∴AF∥平面PCE, (2)证明:∵PA＝AD＝2.∴AF⊥PD ∴PA⊥平面ABCD.CD⊆平面ABCD. ∴PA⊥CD.∵AD⊥CD.PA∩AD＝A. ∴CD⊥平面PAD. ∵AF⊆平面PAD.∴AF⊥CD ∵PD∩CD＝D.∴AF⊥平面PCD. ∴GE⊥平面PCD. ∵GE⊆平面PEC. ∴平面PCE⊥平面PCD, 知.GE⊥平面PCD. 所以EG为四面体PEFC的高. 又GF∥CD.所以GF⊥PD. EG＝AF＝.GF＝CD＝. S△PCF＝PD·GF＝2. 得四面体PEFC的体积V＝S△PCF·EG＝. 如图所示.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中.AB＝1.AC＝AA1＝. ∠ABC＝60°. (1)证明:AB⊥A1C, (2)求二面角A-A1C-B的余弦值． 解:法一:(1)证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱.∴AB⊥AA1. 在△ABC中.AB＝1.AC＝.∠ABC＝60°. 由正弦定理得∠ACB＝30°. ∴∠BAC＝90°.即AB⊥AC. ∴AB⊥平面ACC1A1. 又A1C⊂平面ACC1A1. ∴AB⊥A1C. (2)如图.作AD⊥A1C交A1C于D点.连结BD. 由三垂线定理知BD⊥A1C. ∴∠ADB为二面角A-A1C-B的平面角． 在Rt△AA1C中.AD＝＝＝. 在Rt△BAD中.tan∠ADB＝＝. ∴cos∠ADB＝. 即二面角A-A1C-B的余弦值为. 法二:(1)证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱. ∴AA1⊥AB.AA1⊥AC. 在△ABC中.AB＝1.AC＝.∠ABC＝60°. 由正弦定理得∠ACB＝30°. ∴∠BAC＝90°.即AB⊥AC. 如图.建立空间直角坐标系. 则A.B.C.A1. ∴＝. ＝． ∵·＝1×0+0×+0×(-)＝0. ∴AB⊥A1C. (2)如图.可取m＝＝为平面AA1C的法向量.设平面A1BC的法向量为n＝(l.m.n). 则·n＝0.·n＝0. 又＝.＝． ∴∴l＝m.n＝m. 不妨取m＝1.则n＝． cos〈m.n〉＝ ＝＝. ∴二面角A-A1C-B的余弦值为.

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