13．(本小题满分14分)

如图，三棱柱中，侧面底面，,

且,O为中点.

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；

(Ⅲ)在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置.

2．(本小题满分12分)

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

(Ⅰ)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

(Ⅱ)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为(元).求随机变量的分布列和数学期望.

1．(本小题满分12分)

已知函数的图象如图所示.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)设，求函数的单调递增区间.

22．(本题满分12分)

解：(1)设，　 　　　………………3分

是上的增函数，且，

是上的增函数，

，得到；

的取值范围为　　　　　　　　　　　 　　…………………5分

(2)由条件得到，

猜想最大整数　　　　　　　　　　　　　　　 　………………………6分

现在证明对任意恒成立，

等价于，　 　………….8分

设，…………….9分

当时，，当时，， 　…………………10分

所以对任意的都有，　　 　　………………….11分

即对任意恒成立;

所以整数的最大值为2.　　　　　　　　　 　　…………………………….12分

6．(本题满分14分)

解：(1)由|PF₁|－|PF₂|＝2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹S是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支．

由c＝2,2a＝2，∴b²＝3．故轨迹S的方程为x²－＝1 (x≥1)　 …….……4分

(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，与双曲线方程联立消y得

(k²－3)x²－4k²x+4k²+3＝0．　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

∴ 　 　 解得k²＞3．…… 7分

|AP|·|BQ|＝＝(2x₁－1)(2x₂－1)

＝[4x₁x₂－2(x₁+x₂)+1]＝x₁x₂－+

＝－+＝+＝+＞．　　　　 ………..…………..9分

当斜率不存在时，|AP|·|BQ|＝，∴λ的最小值为．　　　　 ………………10分

此时，|PQ|＝6，|MF₂|＝3，S_△PMQ＝|MQ|·|PQ|＝9． 　　　　………………12分

5．(本题满分14分)

解：(1)(与无关)　　　 .…………4分

故数列为等差数列，且公差.　　　　　　 ……………………5分

(2)由(1)可知，，故………6分

　　　　　　　　　　　　　 ……………………7分

方法一：数学归纳法

(1)当时，，不等式成立，　　　　　 …………8分

(2)假设时不等式成立，

即，　　　　 ………………………….9分

那么当时，

这说明，当时不等式也成立　　　　 …………………………………11分

综上可知，对于，原不等式均成立.　　 ……………………………12分

方法二：均值不等式

　……………9分

.

原不等式得证.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

3．(本题满分14分)

解：记第名用户选择的应用属于农场、音乐、读书分别为事件，i=1，2，3．由题意知相互独立，相互独立，相互独立，(i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同)相互独立，且．

(1)他们选择的应用互不相同的概率

(2)设3位用户选择的应用是QQ读书的人数是，由已知，且=3－，

所以

(每求对一个的概率给1分)

故的分布列是

　 　　　　　　　　　　　 　……………………10分

的数学期望是

(或者由，) ……….12分

2．(本题满分12分)

解法1：(1)　　 是等腰三角形,

又是的中点　　　 ，　　　　 ………..…………1分

又底面　　 　　　　　　　　………………2分

于是平面．　　　　　　　　　　　　　 ………………3分

又平面　　 平面平面．　　　 …………4分

(2)过点在平面内作于，连接　　　　 ………………5分

则由(1)知AB⊥CH，　 ∴CH⊥平面　　　　　　　 ………………6分

于是就是直线与平面所成的角　　　　　　 ………………7分

在中，CD=，　 ；　　 ………………8分

设，在中，　　　　　 ………………9分

　　　　　　　 ………………10分

，……11分

又，

即直线与平面所成角的取值范围为

．　　　　　　　　　　　 ………………12分

解法2：

(1)以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，…1分

于是，，，．

从而，即．…2分

同理，…3分

即．又，平面．

又平面．

平面平面.　　　　 ………………4分

(2)设直线与平面所成的角为，平面的一个

法向量为，则由．

得　 ………………6分

可取，又，

于是，　　　　　　　 ………………10分

，，．又，．

即直线与平面所成角的取值范围为．　　　 ………………12分

1．(本题满分12分)

解：(1)∵

．　　 .................................3分

而的最小正周期为，且>0，∴，∴． ...............5分

(2)由(1)得．

若是三角形的内角，则，∴．

令，得，

∴或，　　 ∴或． 　　　…………7分

由已知，是△的内角，且，

∴，，　　 ∴．　　 　….…………………8分

又由正弦定理，得． 　　　…..…………10分

6．(本小题满分12分)

已知函数(e是自然对数的底数)．

(1)若函数上的增函数，求k的取值范围；

(2)若对任意的，求满足条件的最大整数k的值．

华侨中学2010届高三解答题限时训练1答案