5.　 3．1、简谐振动中的能量

以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：

振子的瞬时弹性势能为：

振子的总能量为：

简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。

如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比较复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，而且是线性力(如图5-3-1)，因此，回复力做的功(图中阴影部分的面积)也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x应指振子离开平衡位置的位移，则就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究。

简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即，。

另有

也可用总能量和振幅表示为

5．2．2、单摆

一个质量为m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O点，小球摆动至与竖直方向夹角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的切向分力为

当<5º时，△OAB可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且，所以

　 (式中)

说明单摆在摆角小于5º时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为

在一些异型单摆中，和g的含意以及值会发生变化。

(1)等效重力加速度

单摆的等效重力加速度等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力与摆球质量的比值。

如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳子中张力为，因此该单摆的等效重力加速度为=。周期为

再如图5-2-7所示，在倾角为的光滑斜面上有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳中张力为，因此单摆的等效重力加速度为=，周期为

又如一节车厢中悬挂一个摆长为的单摆，车厢以加速度在水平地面上运动(如图5-2-8)。由于小球m相对车厢受到一个惯性力，所以它可以“平衡”在OA位置，，此单摆可以在车厢中以OA为中心做简谐振动。当小球相对静止在平衡位置A处时，绳中张力为，等效重力加速度，单摆的周期

(2)等效摆长

单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图5-2-9中的双线摆，其等效摆长不是，而是，周期

再如图5-2-10所示，摆球m固定在边长为L、质量可忽略的等边三角形支架ABC的顶角C上，三角支架可围绕固定的AB边自由转动，AB边与竖直方向成角。

当m作小角度摆动时，实际上是围绕AB的中点D运动，故等效摆长

正因为m绕D点摆动，当它静止在平衡位置时，指向D点的弹力为，等效重力加速度为，因此此异型摆的周期

(3)悬点不固定的单摆

如图5-2-11，一质量为M的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆长为，摆球的质量为m的单摆。显然，当摆球来回摆动时，车厢也将作往复运动，悬点不固定。

由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆，故取车厢为非惯性系，摆球受到重力mg，摆线拉力N和惯性力的作用，如图

分析摆球

N=　　　　 ①(忽略摆球向心力)

回复力　　　　 　　　　　②

分析车厢：

　　　　　　　　 ③

因为很小，所以可认为，，

则由①、③式可得

把它代入②

摆球偏离平衡位置的位移　 　　

所以　　　　　　

因此摆球作简谐振动，周期

由周期表达式可知：当M»m时，，因为此时M基本不动，一般情况下，

§5.3　 振动能量与共振

5．2．1、弹簧振子

弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期　　　　　　　

。

(1)恒力对弹簧振子的作用

比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同(如图5-2-1)，则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。

如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长随时间t变化的图线。

由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期

因为，所以

因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为

当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在

的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在

的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么图线将是怎样的？

　(2)弹簧的组合　 设有几个劲度系数分别为、……的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为，那么总伸长

各弹簧受的拉力也是F，所以有

故　　　　　　

根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数

即得　　　　　　

如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长，需要的外力

根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数

　 导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。

当m向下偏离平衡位置时，弹簧组伸长了2 ，增加的弹力为

m受到的合外力(弹簧和动滑轮质量都忽略)

所以m的振动周期

　　　　　 =

　 再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧1由平衡状态伸长时，弹簧2由平衡位置伸长了，那么，由杆的平衡条件一定有(忽略杆的质量)

由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降

因此物体m总的由平衡位置下降了

此时m所受的合外力

所以系统的振动周期

(3)没有固定悬点的弹簧振子　 质量分别为和的两木块A和B，用一根劲度系数为k的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上(图5-2-5)。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。

想象两端各用一个大小为F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置和，因为系统受的合力始终是零，所以应该有

　　 　　　　　　　　　①

A、B两物体受的力的大小

　　　　　　 ②

由①、②两式可解得

由此可见A、B两物体都做简谐运动，周期都是

此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为，左边一段原长为，劲度系数为；右边一段原长为，劲度系数为，这样处理所得结果与上述结果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？

5．1．3、简谐振动的判据

　　 物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动：

　　　　　 ①物体运动中所受回复力应满足　　 ；

②物体的运动加速度满足　　　　 ；

③物体的运动方程可以表示为　　 。

事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。

§5.2　 弹簧振子和单摆

简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。

5．1．2、简谐振动的方程

由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟轴夹角为,那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟的夹角就成为，它在轴上的投影点的坐标

　　　　　　　　　　　 (2)

这就是简谐振动方程，式中是t=0时的相位，称为初相：是t时刻的相位。

参考圆上的质点的线速度为，其方向与参考圆相切，这个线速度在轴上的投影是

　 )　　　　　　　　　　 (3)

这也就是简谐振动的速度

参考圆上的质点的加速度为，其方向指向圆心，它在轴上的投影是

　　　　 )　　　　　　　　　 (4)

这也就是简谐振动的加速度

　 由公式(2)、(4)可得

　 由牛顿第二定律简谐振动的加速度为

因此有

　　　　　　　　　　　　　　　 (5)

　 简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以

5．1．1、简谐振动的动力学特点

如果一个物体受到的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即满足：的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的

加速度，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。

现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。

当物体运动到离O点距离为x处时，有

式中为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有，因此

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。

注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。

4．3．2、引力红移

引力红移是指由于引力作用，我们观察星体的光比星体表面发射的光波变长。因此可见光波长最长的光是红光，也即光谱向红端移动，称为引力红移。

根据广义相对论的等效性原理，引力质量和惯性质量是等价的。光子能量以及光子-地球系统的势能满足能量守恒定律。

即光子的能量如引力势能为常数，而光子的能量E=hv，引力势能为mgz。其中

，所以当高度改变 　，频率就会改变

即　　　　　　

这说明频率v发生了红移

4．3．1、、黑洞

黑洞是指光子无法脱离其引力，因而接收不到从它射出的光子，所以称为黑洞。

可以认为光子具有质量。设星体是一个质量为M，半径为R的均匀球。则质量为m的光子在星球表面所受到的引力为

光子以光速c作半径为R的圆周运动的向心加速度。当引力大于向心力时，光子不会外溢，即f>ma有：

从上式可得

可以认为就是黑洞的临界半径(从广义相对论所得结论为)。

对于太阳，可结算它演变成黑洞时的临界半径的数量级为。

假定我们所在的宇宙就是一个黑洞，即我们不可能把光反射到我们的宇宙之外。所以即使在宇宙之外还存在空间，还存在天体的话(这完全是一种假设)，那么外面的天体看我们的宇宙就是一个“大黑洞。试从这一假定估算我们宇宙的半径。

解　 设宇宙质量为M，半径为R，则

由于黑洞的临界半径为　　 。

所以　　　　　　　　 。

4、强相互作用　 存在于夸克之间。介子或重子之间的相互作用是夸克间强相互作用的间接表现，核子之间的相互作用即核力属强相互作用。

这四种的基本相互作用，按由强到弱排列，它们的相对强度为

强相互作用　 电磁相互作用　 弱相互作用　 引力相互作用

　　 1　　　　　 　　　　　　　　　　　

正像电和磁是电磁相互分用的两个不同的表现方面一样，科学家们认为，电磁和弱相互作用两者是电-弱相互作用的两个不同的表现方面。近年来，电弱统一的理论获得了成功。

传递相互作用的粒子　 相互作用的本质是什么呢？在电学部分，我们知道，带电粒子是通过电磁场传递力的。电磁场的传播就是电磁波，其量子是光子。所以，带电粒子是通过交换光子发生相互作用的。传递相互作用的粒子又称媒介子。光子是一切带电粒子间电磁相互作用的媒介子。

轻子之间不存在强相互作用。轻子或重子之间都存在弱相互作用。弱相互作用的媒介子又称为中间玻尔色子或弱介子。理论预言有 、、和种弱介子。它们的质量都很大，自旋都等于1，在本世纪80年代，这三种媒介子先后被实验所证实。

夸克之间存在强相互作用。强相互作用的媒介子称为胶子。胶子的静质量为0，电荷为0，自旋等于1，但带有色荷。

夸克或胶子都没有被分离出来而直接观测到。为什么没有单个的夸克出现呢？理论上认为，夸克之间的相互作用随着夸克之间的距离增加而加大，以致巨大的撞击能量未分离开夸克，而产生了两个或三个夸克组成的强子。这个理论又称为夸克的禁闭理论。按照这个理论，单个夸克是不能从强子中分离出来的。

§4、3　　 其他

3、电磁相互作用　 直接存在于带电的粒子之间。