2．5．2、　 电势差计

精确地测量电源电动势常采用电势差计。电势差计是根据补偿原理来设计的，补偿法的原理可用图2-5-2所示来说明。

通常情况下，用测量仪器对电源进行测量时，总有电流通过电源，因而造成测量误差。用图2-5-3所示的电路进行测量时，可以使待测电源中的电流为零。图中工作电源与粗细均匀的电阻线A、B相连。适当调节C的位置，当电阻线在A、C段的电势降刚好与待测电源的电动势E_x 相等时，灵敏电流计G内没有电流通过，待测电源中的电流也为零。这时，称待测电路得到了补偿。

若先对一个标准电池实现补偿，就可以对电路进行定标(测得A、C间单位长度相当多少伏电压)，然后对某个待测电压实现补偿，即可精确地测定这个电压值。

用这种方法既可以测量电源电动势，还可以测量某段电路两端电压。若再借助于比较法，还可测量电阻值。这种测量方法称为补偿法。

滑线式电势差计的电路如图2-5-4所示。它由三部分组成：工作电源E、开关和变阻器组成“工作电路”；标准电池、灵敏电流计G和保护电阻组成“标准电路”；待测电源、开关、电阻箱、灵敏电流计G和保护电阻组成“测量电路”，三部分之间接有转换开关和由粗细均匀的电阻线AB和滑动触头C。任何电势差计，无论结构多么复杂，都有以上三部分。

测量前，应先对电势差计进行校准，回路中的工作电源电压可取3-4V间某个值。调节变阻器使工作电路中的电流达到规定值。再将转换开关接标准电池，调节滑动触头C，并逐步减小保护电阻，直至等于零时，接通灵敏电流计G，表中也有没电流通过。这时“标准回路”就达到了平衡，记下此时电阻线上段长度。

然后，将调至最大，将转换开关接待测电源，并断开开关。按以上方法再调节“测量电路”使其达到平衡，并记下此时触头位置所对应的电阻线上的长度。在调节过程中，的位置不能动，以保护工作电流不变。此时，由于电阻线的粗细均匀，故有

即　　　　　　　　

如果要测量待测电源的内阻r，可以合上，用以上方法测得待测电源的路端电压

再根据公式　　　

读出电阻箱的阻值，即可求出电源内阻为

利用电势差计还可以借助于比较法测电阻，测量方法如图2-5-5所示，图中R为标准电阻，为待测电阻，先用电势差计测出两端的电压，再用同样的办法测出标准电阻R两端的电压U，由于电势差计没有分流作用，故

因此　　　　　　　　　　

§2．6、黑箱问题

此类问题具有智力测试的性质，无明显规律可循，而全凭思维的灵敏性和判断的周密性

例11、如图2-6-1所示，在黑盒内有一个电源和几个阻值相同的电阻组成的电路，盒外有四个连接柱。利用电压表测出每两点间的电压分别为：

。试画出盒内的电路，并要求电阻数不超过5个。

解： 　在盒内电阻数不超过5个的条件下，可能的电路有6种，如图2-6-2所示

§2、7　 物质的导电性

2．5．1、　 惠斯通电桥

用欧姆表测量电阻虽然方便，但不够精确，而用伏安法测电阻，电表所引起的误差又难以消除，精确地测量电阻，常用惠斯通电桥。

图2-5-1是惠斯通电桥的电路图，当B、D两点的电势相等时，通过检流计的电流强度，此时就称电桥平衡(可通过调节滑动触头D的位置来实现)。根据串联电路中电阻与电压成正比的原理，可知此时应有

一般来讲，和由同一均匀电阻丝组成，其阻值与长度成正比，待测电阻的计算公式为

测出电阻丝长度和之比，再由标准电阻的阻值即可确定待测电阻的阻值。

备注：操作方法见实验部分。

2．4．5、　 电流叠加法

解题步骤是：先考虑一支流入或流出系统的电流，把它看作在给系统充电或放电，利用对称性求出系统中的电荷分布和电流场分布，求出每一支电流造成的分布后进行叠加，使得电荷分布全部抵消，而电流场叠加作为所求的电流场。

例9、有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图2-4-17所示。所有六边形每边的电阻为，求：

(1)结点a、b间的电阻。

(2)如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻的电流 I_de为多大。

解： (1)设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。再假设有电流I 由四面八方汇集b点流出，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。

将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知

(由a流向c)

(由c流向b)

因此，a、b两点间等效电阻

(2)假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设

应该有　　　　　 　　　　

因为b、d两点关于a点对称，所以

同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有

最后，根据电流的叠加原理可知

以上几种方法可实现电路的化简。其中，电流分布法特别适合于纯电阻电路及求复杂导体和等效电阻，当为纯电容电路时，可先将电容换成电阻为解等效阻值，最后只需将R换成即可。

例10、十个电容为C的电容器按图2-4-17个方式连接，求AB间等效电容。

解： 　将电容全部换成阻值为r的电阻，由“电容分布法”中的例题可知　　

用代替R，则

§2。5、电桥电路，补偿电路和电势差计

2．4．4、　 无穷网络等效变换法

若　　 (a＞0)

在求x值时，x注意到是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即。所以

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。

例8、如图2-4-15所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A、B两点间的电阻为多大？

从对称性考虑原电路可以用如图2-4-16所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“内”三角，并且电阻是这样的，，因此

解此方程得到

2．4．3、　 对称性原理

①等势节点的断接法

在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，(以两端连线为对称轴)，那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开(即去掉)，也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

例6、用导线连接成如图2-4-12所示的框架，ABCD和ABCE是正四面体，每段导线的电阻都是1。求AB间的总电阻。

解： 设想A、B两点上存在电势差，由于电路的对称性可以知道D、C、两点的电势都应该介乎与的中间，即，所以两点应是等电势的。这样，去掉CD段导线，对A、B间的总电阻不会有影响。当去掉CD段导线后，就成为三路并联，即A-D-B，A-C-B，和AB。于是：

②电流分布法

设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，(即基耳霍夫定理)，建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压，再由即可求出等效电阻。

例7、10根电阻均为r的电阻丝接成如图2-4-13所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。

由结构对称性，要求电流I从A点流入后在A点的电流分布应与电流I从B点流出前的电流分布相同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称，因此网络内电流分布应如图2-4-14所示。对图中C点和D点，有电流关联

解得　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　①

由A、E两点间不同路线等电压的要求，得

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　②

解①、②两式得

选择线路AEDB，可得

因此，A、B间等效电阻便为

2．4．2、　 Y-△变换

在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或△，如图2-4-8所示，有时把Y型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压及流过的电流与△型联接的三个端纽相同。

在Y型电路中有

可解得

在△型电路中

等效即满足：

即　　 　　　　　　　　　　　　　①

　　　 　　　　　　　　　　　　　②

类似方法可得 　　　　　　　　　③

①、②、③式是将Y型网络变换到△型电路中的一组变换。

同样将△型电路变换到Y型电路，变换式可由①、②、③式求得：④、⑤、⑥

　　　　　　 ④

　　　　　　 ⑤

　　　　　　 ⑥

例5、试求如图2-4-9所示电路中的电流。

分析：　 这是包含一个Y型电路和一个△型电路的网络，解决问题的方向可将左边Y型网络元变换成△型网络元，或将右侧△型网络元变换成Y型网络元。

解：　 将左侧Y型网络换成△型，如图2-4-10

所示已知　

则有　

由图2-4-10，可进一步电路整理为图2-4-11所示。

将右侧△型网络元换成Y型网络元同样可求得，这里不再叙述。

2．4．1、　 等效电源定理

实际的直流电源可以看作电动势为，内阻为零的恒压源与内阻r的串联，如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源。

不论外电阻R如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源、r对外电阻R提供电流I为

　其中为电源短路电流，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图2-4-2所示。

实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。

等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。

如图2-4-3所示为两端有源网络A与电阻R的串联，网络A可视为一电压源，等效电源电动势等于a、b两点开路时端电压，等效内阻等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。

等效电流源定理　 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。

例4、如图2-4-5所示的电路中，

(1)试用等效电压源定理计算从电源正极流出的电流；(2)试用等效电流源定理计算从结点B流向节点A的电流。

分析： 根据题意，在求通过电源的电流时，可将ABCDE部分电路等效为一个电压源，求解通过的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。

解： (1)设ABCDE等效电压源电动势，内阻，如图2-4-6所示，由等效电压源定理，应有

电源与电源串联，故

＜0，表明电流从负极流出。

(2)将A、B两个节点短接，构成等效电流源()如图2-4-7所示，由等效电流源定理，为原电路流经A、B短接后的支路电流。因为有两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其内容为：若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支路产生的电流之和。

由叠加原理　　

由和的分流关系

2．3．3、基尔霍夫定律

①对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。

或可表达为：汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。

若规定流入电流为正，则从节点流出的电流强度加负号。对于有n个节点的完整回路，可列出n个方程，实际上只有个方程是独立的。

②沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零，即

对于给定的回路绕行方向，理想电源，从正极到负极，电势降落为正，反之为负；对电阻及内阻，若沿电流方向则电势降落为正，反之为负。若复杂电路包括m个独立回路，则有m个独立回路方程。

例3、如图2-3-6所示电路中，已知

求各支路的电流。

分析： 　题中电路共有2个节点，故可列出一个节点方程。而支路3个，只有二个独立的回路，因而能列出两个回路方程。三个方程恰好满足求解条件。

解：　 规定正方向如图所示，则有

两个独立回路，有

联解方程得：

＜0，说明实际电流方向与图中所假定电流方向相反。

§2. 4、电路化简

2．3．2、欧姆定律

①部分电路欧姆定律：导体中的电流强度I跟它两端所加的电压U成正比，跟它的电阻R成反比，即

上式适用于金属导电和电解液导电的情况。对非线线元件(如灯丝、二极管)和气体导电等情况不适用。

②一段含源电路欧姆定律：电路中任意两点间的电势差等于连接这两点的支路上各电路元件上电势降落的代数和，其中电势降落的正、负符号规定如下：

a.当从电路中的一点到另一点的走向确定后，如果支路上的电流流向和走向一致，该支路电阻元件上的电势降取正号，反之取负号。

b.支路上电源电动势的方向和走向一致时，电源的电势降为电源电动势的负值(电源内阻视为支路电阻)。反之，取正值。

如图2-3-1所示，对某电路的一部分，由一段含源电路欧姆定律可求得：

③闭合电路欧姆定律和电源输出功率

〈1〉闭合电路欧姆定律

闭合电路欧姆定律公式：

路端电压

对于确定电源、一定，则图线和图线如图2-3-2和2-3-3所示。其中，为电源短路电流。

〈2〉电源输出功率

电源的功率　

电源输出功率　

当时电源输出功率为最大

此时电源效率　　　　　 %

电源输出功率P随外电阻R变化如图2-3-4所示，若电源外电阻分别为、时，输出功率相等，则必有

例2、如图2-3-5所示电路，设电源电压不变，问：(1)在什么范围内变化时，上消耗的电功率随的增大而增大？(2)在什么范围内变化时，上消耗的电功率随增大而减小？(3)为何值时，上消耗的电功率为最大？

解： 先求出随变化的表达式。

令：　　　　　　

则：

(1)当＞时，即＞

(2)当＜时，即＞

＜0，

(3)当=时，即=，最大

2．3．1、 焦耳定律

电流在一段只有电阻元件的电路上所做的功等于电流通过这段电路时的所产生的热量Q。焦耳通过实验得到结论：如果通过一段只有电阻元件的电路的电流为I，这段电路的电阻为R，通电时间为t，则

这就是焦耳定律，我们还可推出这段电路中电流的发热功率为。

电流做功的过程，就是电能转化为其他形式的能的过程。一般来讲，人们用电的目的往往不是为了发热。如使用电动机是为了将电能转化为机械能，使用电解槽是为了将电能转化为化学能等等。发热只是副效应，因此，一般说来电热只是电功的一部分，热功率是电功的一部分。