2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定.

拓展题例

[例1] 如果数据a₁，a₂，…，a₆的方差是6，那么另一组数据a₁－3，a₂－3，…，a₆－3的方差是多少？

解：设a₁，a₂，…，a₆的平均数为，则(a₁－3)，(a₂－3)，…，(a₆－3)的平均数为－3，∴方差为s²={［(a₁－3)－(－3)］²+…+［(a₆－3)－(－3)］²}=6.

[例2] 已知样本方差由s²=(x_i－5)²求得，求∑x_i.

解：依s²=［(x₁－)²+…+(x_n－)²］

=［x₁²+x₂²+…+x_n²－n²］知，

∴x_i=5.∴x_i=50.

1.期望反映数据取值的平均水平，期望越大，平均水平越高.

2.进行几次实验，得到样本数据x₁，x₂，…，x_n，设c是任意常数，k为任意的正数，作变换y_i=(x_i－c)(i=1，2，…，n)，则有：①=k+c；②s_x²=k²s_y².

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教学点睛

1.用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布估计总体分布外，还可以用平均值和方差对总体进行估计，即用样本平均数去估计总体平均数μ；用样本方差s²去估计总体的方差σ²，进一步对总体的分布作出判断.

9.有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：

［12.5，15.5)，6；［15.5，18.5)，16；［18.5，21.5)，18；［21.5，24.5)，22；［24.5，27.5)，20；［27.5，30.5)，10；［30.5，33.5)，8.

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计数据小于30.5的概率.

解：(1)样本的频率分布表如下：

(2)频率分布直方图如下图.

(3)数据大于等于30.5的频率是0.08，∴小于30.5的频率是0.92.∴数据小于30.5的概率约为0.92.

探究：解决总体分布估计问题的一般程序如下：(1)先确定分组的组数(最大数据与最小数据之差除组距得组数)；(2)分别计算各组的频数及频率(频率=)；(3)画出频率分布直方图，并作出相应的估计.

注意直方图与条形图的区别.

●思悟小结

8.甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位：mm)：

甲：10.2　 10.1　 10.9　 8.9　 9.9　 10.3　 9.7　 10　 9.9　 10.1

乙：10.3　 10.4　 9.6　 9.9　 10.1　 10　 9.8　 9.7　 10.2　 10

分别计算上面两个样本的平均数与方差，如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？

解：_甲=(10.2+10.1+…+10.1)=10，

_乙=(10.3+10.4+…+10)=10，

s_甲²=［(10.2－10)²+(10.1－10)²+…+(10.1－10)²］=0.03，

s_乙²=［(10.3－10)²+(10.4－10)²+…+(10－10)²］=0.06.

由上述结果分析，甲台机床加工这种零件稳定，较合适.

探究创新

7.某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下：

问：哪一品种的西红柿既高产又稳定？

解：₁=(21.5+20.4+…+19.9)=21，

₂=(21.3+18.9+…+19.8)=21，

₃=(17.8+23.3+…+20.9)=20.5，

s₁=0.756，

s₂=1.104，

s₃=1.901.

由₁=₂>₃，而s₁<s₂<s₃，说明第1种西红柿品种既高产又稳定.

6.某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名参加全市中学生百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，成绩如下表：

根据成绩，请你作出判断，派哪位选手参加更好，为什么？

解：_甲=12.4=_乙，s_甲²=0.12，s_乙²≈0.10，

∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳定，应派乙选手参加比赛.

4.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为Z=(其中x是某位学生的考试分数，是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这位学生的标准分).转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是T=40Z+60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分，这次考试的平均分是70分，标准差是25，则该考生的T分数为___________.

解析：由已知Z==，∴T=40×+60=24+60=84.故考生成绩的T分数为84.

答案：84