51．(1)解：当S=150时，k===5，

所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；

(2)证明：三边为3、4、5的整数倍，

设为k倍，则三边为3k，4k，5k，

而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．

其面积S=(3k)·(4k)=6k²，所以k²=，k=(取正值)，即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．

50．(1)方法1c-a=(m²+1)-m=(m²-2m+1)=(m-1)²>0，c-b=1>0，

所以c>a，c>b．而a²+b²=m²+[(m²-1)] ²=(m⁴-2m²+1)+m²

=(m⁴+2m²+1)=[(m²+1)] ²=c²，

所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

　　 同理可证方法2．

(2)方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．

方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．

　　 (3)120．

49．解：若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²>c²；

若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²<c²．

证明：

①当△ABC是锐角三角形时，如图18-3，

过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，

根据勾股定理，得b²-x²=c²-(a-x)²．

∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a²+b²>c²．

②当△ABC是钝角三角形时，如图18-4，

过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，

设CD为x，则BD²=a²-x²．

　　 根据勾股定理，得(b+x)²+a²-x²=c²．

　　 ∴a²+b²+2bx=c²．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a²+b²<c²．

49．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图18-2(1)，根据勾股定理，则a²+b²=c²，若△ABC不是直角三角形，如图(2)和图(3)，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论．

48．当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价

　　 ∵CD·AB=AC·BC　 ∴CD==48米

　　 ∴AD==64米

　　 所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．

47．连结AE，则△ADE≌△AFE，所以AF=AD=10，DE=EF．

设CE=x，则EF=DE=8-x，BF==6，CF=4．

在Rt△CEF中，EF²=CE²+CF²，即(8-x)²=x²+16，故x=3

46．解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，

有(3m)²+(4m)²=(5m)²，

所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．

45．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察答图18-1可知AC=8-3+1=6，BC=2+5=7，

在Rt△ACB中，AB=km．

　　 答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是km．

　　 点拨：所求距离实际上就是AB的长．解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．

44．解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC==5，

∴S_△ABC=AB·BC=×4×3=6．

在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12．

∵AC²+CD²=5²+12²=169，AD²=13²=169，

∴AC²+CD²=AD²，∴△ACD为直角三角形，

∴S_△ACD=AC·CD=×5×12=30，

∴S_{四边形ABCD}= S_△ABC + S_△ACD =6+30=36．

43．A=81；B=64；C=100．