4、平行线的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系

　两直线平行　　　同位角相等；

　两直线平行　　　内错角相等；

　两直线平行　　　同旁内角互补。

其中，由角的相等或互补(数量关系)的条件，得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定；由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。

典型例题：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C

　证明：∵∠1＝∠B(已知)

　　　∴DE∥BC(同位角相等，

　　　　　两直线平行)

　　　∴∠2＝∠C(两直线平行

　　　　　同位角相等)

注意，在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。

典型例题：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°

　　　求∠2、∠3的度数

解答：∵DE∥BC(已知)

　　∴∠2＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)

　　∵AB∥DF(已知)

　　∴AB∥DF(已知)

　　∴∠3+∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)

　　∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

3、命题：

⑴命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成

每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

　有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。

注意：命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

2、两条平行线的距离

　如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。

　注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

1、平行线的性质：

　性质1：两直线平行，同位角相等；

　性质2：两直线平行，内错角相等；

　性质3：两直线平行，同旁内角互补。

　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)

　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)

　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　∴∠4+∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)

5.3平行线的性质

7、两直线平行的判定方法

方法一　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　简称：同位角相等，两直线平行

方法二　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　简称：内错角相等，两直线平行

方法三　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　简称：同旁内角互补，两直线平行

　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　∵　∠3＝∠2

　　　　　　　∴　AB∥CD(同位角相等，两直线平行)

　　　　　　　∵　∠1＝∠2

　　　　　　　∴　AB∥CD(内错角相等，两直线平行)

　　　　　　　∵　∠4+∠2＝180°

　　　　　　　∴　AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)

请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等，然后写平行。

注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点(不相交)，那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：

　⑴不相交的两条直线必定平行线。

　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。

　　⑵正确

　　⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。

典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？

解答：⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；

　　⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；

　　⑶由∠3+∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行。

6、如何判别三线八角

　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

　例如：

　如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。

　我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线)，得到下列各图。

　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。

注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？

不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。

5、三线八角

　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

　如图，直线被直线所截

　①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，

叫做同位角(位置相同)

　②∠5与∠3在截线的两旁(交错)，在被截直线之间(内)，叫做内错角(位置在内且交错)

　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间(内)，叫做同旁内角。

　④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

　　　　　　如左图所示，∵∥，∥

　　　　　　　　　∴∥

　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。

3、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行