2．菱形ABCD在平面内,,则PA与BD所成的角是_________.

1．四边形ABCD的四条边都相等,它们的对角线AC与BD必定_______,但不一定______.

22．(本小题满分12分)已知m∈R，直线l：mx－(m²+1)y＝4m和圆C：x²+y²－8x+4y+16＝0.

(1)求直线l斜率的取值范围；

(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

解析：(1)直线l的方程可化为y＝x－，

直线l的斜率k＝，

因为|m|≤(m²+1)，

所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．

所以，斜率k的取值范围是[－，]．

(2)不能．

由(1)知l的方程为

y＝k(x－4)，其中|k|≤.

圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.

圆心C到直线l的距离d＝ .

由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.

从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.

所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．

21．(本小题满分12分)直线y＝kx与圆x²+y²－6x－4y+10＝0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程．

剖析：本题考查与圆有关的轨迹问题．

解析：解法一：由

消去y，得(1+k²)x²－(6+4k)x+10＝0.

设此方程的两根为x₁、x₂，AB的中点坐标为P(x，y)，则由韦达定理和中点坐标公式，得x＝＝＝. 　　　　　　　　　　 ①

又点P在直线y＝kx上，

∴y＝kx.

∴k＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

将②代入①，得x＝(x≠0)，整理得x²+y²－3x－2y＝0.

故轨迹是圆x²+y²－3x－2y＝0位于已知圆内的部分．

解法二：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

x+y－6x₁－4y₁+10＝0，①

x+y－6x₂－4y₂+10＝0，②

①－②，得(x－x)+(y－y)－6(x₁－x₂)－4(y₁－y₂)＝0.

设AB的中点为(x，y)，则x₁+x₂＝2x，y₁+y₂＝2y.

代入上式，有2x(x₁－x₂)+2y(y₁－y₂)－6(x₁－x₂)－4(y₁－y₂)＝0，

即(2x－6)(x₁－x₂)+(2y－4)(y₁－y₂)＝0.

∴＝－＝－k.　　　　　　　　　　　　　 ③

又∵y＝kx，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由③④得x²+y²－3x－2y＝0.

故所求轨迹为已知圆内的一段弧．

点悟：解法一为参数法，适当引入参数，再消去参数得所求轨迹；解法二为“差分法”，是求中点轨迹的一种常用方法．

20．(本小题满分12分)某集团准备兴办一所中学，投资1200万元用于硬件建设．为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表(以班为单位)如下：

根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元．因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜．根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？(利润＝学费收入－年薪支出)

解析：设初中x个班，高中y个班，则

设年利润为s，则

s＝60×0.06x+40×0.15y－2×1.2x－2.5×1.6y

＝1.2x+2y

作出①、②表示的平面区域，如上图，易知当直线1.2x+2y＝s过点A时，s有最大值．

由解得A(18,12)

∴s_max＝1.2×18+2×12＝45.6(万元)．

即学校可规划初中18个班，高中12个班，可获得最大年利润为45.6万元．

19．(本小题满分12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y+1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．

解析：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，

∵点A(2,3)关于直线x+2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，

∴圆心(a，b)在直线x+2y＝0上，

∴a+2b＝0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

(2－a)²+(3－b)²＝r².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

又直线x－y+1＝0截圆所得的弦长为2，

∴r²－()²＝()² ③

解由方程①、②、③组成的方程组得：

或

∴所求圆的方程为

(x－6)²+(y+3)²＝52或(x－14)²+(y+7)²＝244.

18．(本小题满分12分)已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l₁；x+y+1＝0和l₂：x+y+6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程.

分析一：如图，利用点斜式方程，分别与l₁、l₂联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值，从而求得l的方程.

解析：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l₁、l₂的交点分别为A′(3，－4)或B′(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4+9|＝5，符合题意.

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)+1.

解方程组得

A(，－)．

解方程组得

B(，－)．

由|AB|＝5.

得(－)²+(－+)²＝5².

解之，得k＝0，直线方程为y＝1.

综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.

分析二：用l₁、l₂之间的距离及l与l₁夹角的关系求解.

解法二：由题意，直线l₁、l₂之间的距离为d＝＝，且直线L被平行直线l₁、l₂所截得的线段AB的长为5，设直线l与直线l₁的夹角为θ，则sinθ＝＝，故θ＝45°.

由直线l₁：x+y+1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为：

x＝3或y＝1.

分析三：设直线l₁、l₂与l分别相交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则通过求出y₁－y₂，x₁－x₂的值确定直线l的斜率(或倾斜角)，从而求得直线l的方程.

解法三：设直线l与l₁、l₂分别相交A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则x₁+y₁+1＝0，x₂+y₂+6＝0.

两式相减，得(x₁－x₂)+(y₁－y₂)＝5.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²＝25.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

联立①、②可得

或

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.

故所求的直线方程为x＝3或y＝1.

17．(本小题满分10分)求经过7x+8y＝38及3x－2y＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．

解析：易得交点坐标为(2,3)

设所求直线为7x+8y－38+λ(3x－2y)＝0，

即(7+3λ)x+(8－2λ)y－38＝0，

令x＝0，y＝，

令y＝0，x＝，

由已知，＝，

∴λ＝，即所求直线方程为x+y－5＝0.

又直线方程不含直线3x－2y＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x－2y＝0亦为所求．

16．(2009·山东济南一模)若直线y＝kx－与圆x²+y²＝2相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，k的值为________．

答案：±

解析：由图可知，点P的坐标为(0，－)，

∠OPQ＝30°，∴直线y＝kx－的倾斜角为60°或120°，∴k＝±.

15．(2009·朝阳4月，12)已知动直线l 平分圆C：(x－2)²+(y－1)²＝1，则直线l与圆：(θ为参数)的位置关系是________．

答案：相交

解析：动直线l平分圆C：(x－2)²+(y－1)²＝1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O：即x²+y²＝9，且2²+1²＜9，(2,1)在圆O内，则直线l与圆O：

(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交．