摘要：21．直线y＝kx与圆x2+y2-6x-4y+10＝0相交于两个不同点A.B.当k取不同实数值时.求AB中点的轨迹方程． 剖析:本题考查与圆有关的轨迹问题． 解析:解法一:由 消去y.得(1+k2)x2-(6+4k)x+10＝0. 设此方程的两根为x1.x2.AB的中点坐标为P(x.y).则由韦达定理和中点坐标公式.得x＝＝＝. ① 又点P在直线y＝kx上. ∴y＝kx. ∴k＝. ② 将②代入①.得x＝(x≠0).整理得x2+y2-3x-2y＝0. 故轨迹是圆x2+y2-3x-2y＝0位于已知圆内的部分． 解法二:设A(x1.y1).B(x2.y2).则 x+y-6x1-4y1+10＝0.① x+y-6x2-4y2+10＝0.② ①-②.得(x-x)+(y-y)-6(x1-x2)-4(y1-y2)＝0. 设AB的中点为(x.y).则x1+x2＝2x.y1+y2＝2y. 代入上式.有2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)＝0. 即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)＝0. ∴＝-＝-k. ③ 又∵y＝kx. ④ 由③④得x2+y2-3x-2y＝0. 故所求轨迹为已知圆内的一段弧． 点悟:解法一为参数法.适当引入参数.再消去参数得所求轨迹,解法二为“差分法 .是求中点轨迹的一种常用方法．

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