12．(14分)(2010·汕头模拟)已知函数f(x)＝

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)求函数f(x)的零点．

解　(1)当x>时，f′(x)＝1－＝

由f′(x)>0得x>1.∴f(x)在(1，+∞)上是增函数．

当x≤时，f(x)＝x²+2x+a－1＝(x+1)²+a－2，

∴f(x)在上是增函数

∴f(x)的递增区间是和(1，+∞)．

(2)当x>时，由(1)知f(x)在上递减，在(1，+∞)上递增且f′(1)＝0.∴f(x)有极小值

f(1)＝1>0，

此时f(x)无零点．

当x≤时，f(x)＝x²+2x+a－1，

Δ＝4－4(a－1)＝8－4a.

当Δ<0，即a>2时，f(x)无零点．

当Δ＝0，即a＝2时，f(x)有一个零点－1.

当Δ>0，且f≥0时，

即⇒－≤a<2时

f(x)有两个零点：x＝＝－1±

当Δ>0且f<0，

即⇒a<－时，

f(x)仅有一个零点－1－.

11．(13分)(2010·宁波模拟)设函数f(x)＝－x³+2ax²－3a²x+b(0<a<1)．

(1)求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；

(2)当x∈[a+1，a+2]时，不等式|f′(x)|≤a，求a的取值范围．

解　(1)∵f′(x)＝－x²+4ax－3a²＝－(x－3a)(x－a)，

由f′(x)>0得：a<x<3a，

由f′(x)<0得：x<a或x>3a，

则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a)，

单调递减区间为(－∞，a)和(3a，+∞)．

列表如下：

∴函数f(x)的极大值为b，极小值为－a³+b.

(2)∵f′(x)＝－x²+4ax－3a²＝－(x－2a)²+a²，

∴f′(x)在[a+1，a+2]上单调递减，

∴f′(x)_max＝f′(a+1)＝2a－1，

f′(x)_min＝f′(a+2)＝4a－4.

∵不等式|f′(x)|≤a恒成立，

∴，解得：≤a≤1，

又0<a<1，∴≤a<1，

即a的取值范围是≤a<1.

10．(13分)(2010·菏泽模拟)已知函数f(x)＝x³－ax²+b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]

上的最大值为1，最小值为－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－mx在区间[－2,2]上为减函数，求实数m的取值范围．

解　(1)f′(x)＝3x²－3ax，

令f′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝a，∵a>1，

∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．

∴f(0)＝b＝1，

∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(－1)<f(1)，

∴f(－1)＝－a＝－2，a＝.∴f(x)＝x³－2x²+1.

(2)g(x)＝x³－2x²－mx+1，g′(x)＝3x²－4x－m.

由g(x)在[－2,2]上为减函数，

知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立．

∴，即∴m≥20.

∴实数m的取值范围是m≥20.

9．(2009·湖州模拟)设函数f(x)＝ax³－3x+1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成

立，则实数a的值为________．

解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；

当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax³－3x+1≥0可化为a≥－.

设g(x)＝－，则g′(x)＝，

所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，

因此g(x)_max＝g＝4，从而a≥4.

当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.

g(x)在区间[－1,0)上单调递增，

∴g(x)_min＝g(－1)＝4，从而a≤4，

综上可知a＝4.

答案　4

8．(2010·舟山调研)已知函数f(x)＝x³－3a²x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．

解析　∵f′(x)＝3x²－3a²(a>0)，∴由f′(x)>0得：x>a或x<－a，由f′(x)<0得：－a<x<a.

∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．

由题意得：解得a>.

答案　

7．(2010·东莞一模)若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.

解析　f′(x)＝＝.因为f(x)在1处取极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.

答案　3

6．(2009·绍兴模拟)已知对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，

g′(x)>0，则当x<0时有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．f′(x)>0，g′(x)>0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．f′(x)>0，g′(x)<0

C．f′(x)<0，g′(x)>0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．f′(x)<0，g′(x)<0

解析　由f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．

又x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，

由奇、偶函数的性质知，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.

答案　B

5．(2009·温州五校第二次联考)方程x³－6x²+9x－4＝0的实根的个数为　　　　　　　　　 (　)

A．0　 　　　　　　　　　　 B．1 　　　　　　　　　 C．2 　　　　　　　　　 　D．3

解析　令f(x)＝x³－6x²+9x－4，则f′(x)＝3x²－12x+9＝3(x－1)(x－3)．由f′(x)>0得x>3

或x<1，由f′(x)<0得1<x<3.

∴f(x)的单调增区间为(3，+∞)，(－∞，1)，单调减区间为(1,3)，∴f(x)在x＝1处取极大值，在x＝3处取极小值，又∵f(1)＝0，f(3)＝－4<0，∴函数f(x)的图象与x轴有两个交点，即方程x³－6x²+9x－4＝0有两个实根．故选C.

答案　C

4．(2010·黄山模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x+1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 　)

A．(－1,0)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(2，+∞)

C．(0,1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(－∞，－3)

解析　由f(x)在x＝a处取得极大值可知，当x<a时，f′(x)>0，当x>a时，f′(x)<0，即a(x+1)(x－a)>0的解集为x<a且a(x+1)(x－a)<0的解集为x>a，通过对这两个不等式的解集讨论可知－1<a<0.故选A.

答案　A

3．(2010·湛江调研)已知函数f(x)＝在[1，+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　)

A．0<a<　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0<a≤e

C．a≤e　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．a≥e

解析　f′(x)＝＝，因为f(x)在[1，+∞)上为减函数，故

f′(x)≤0在[1，+∞)上恒成立，即ln a≥1－ln x在[1，+∞)上恒成立．设φ(x)＝1－ln x，

φ(x)_max＝1，故ln a≥1，a≥e，选D.

答案　D