摘要：11．设函数f(x)＝-x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1)． (1)求函数f(x)的单调区间.并求函数f(x)的极大值和极小值, (2)当x∈[a+1.a+2]时.不等式|f′(x)|≤a.求a的取值范围． 解 (1)∵f′(x)＝-x2+4ax-3a2＝-(x-3a)(x-a). 由f′(x)>0得:a<x<3a. 由f′(x)<0得:x<a或x>3a. 则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a). 单调递减区间为(-∞.a)和(3a.+∞)． 列表如下: x (-∞.a) a (a,3a) 3a (3a.+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ? -a3+b ? b ? ∴函数f(x)的极大值为b.极小值为-a3+b. (2)∵f′(x)＝-x2+4ax-3a2＝-(x-2a)2+a2. ∴f′(x)在[a+1.a+2]上单调递减. ∴f′(x)max＝f′(a+1)＝2a-1. f′(x)min＝f′(a+2)＝4a-4. ∵不等式|f′(x)|≤a恒成立. ∴.解得:≤a≤1. 又0<a<1.∴≤a<1. 即a的取值范围是≤a<1.

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