所以异面直线AE和PB所成角的大小为

  ………………8分

   （2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距

离为  …………10分

       …………12分

2、（2009上海卢湾区4月模考）如图，已知点在圆柱的底面圆上，

为圆的直径.

   （1）求证：；

（2）若圆柱的体积为，，

，求异面直线与所成的角（用

反三角函数值表示结果）.

（1）证明：易知，又由平面，得，从而平面，故；                                      （4分）

  （2）解：以为原点，分别以，为，轴的正向，并以的垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系.

由题意，解得.        （6分）

易得相关点的坐标分别为：，，，.得，，              （9分）

设与的夹角为，异面直线 与所成的角为，

则，得，即异面直线 与所成的角为.                                  （12分）

3、（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求异面直线B₁C₁与AC所成角的大小；

(2)若直线A₁C与平面ABC所成角为45°,

求三棱锥A₁-ABC的体积.

（1）因为，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线与所成角         -------(3分)

∠ABC=90°, AB=BC=1，所以，     -------(2分)

即异面直线与所成角大小为。      -------(1分)

（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，所以即为直线A₁C与平面ABC所成角，所以。            -------(2分)

中，AB=BC=1得到，中，得到，   ------(2分)

所以               -------(2分)

4、（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体中，（如图）

是棱的中点，是侧面的中心．

（1）      求三棱锥的体积；

求与底面所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）

（1）．   

（2）取的中点，所求的角的大小等于的大小，

中，所以与底面所成的角的大小是．

5、（2009闵行三中模拟）

5．（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，E是BC₁的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

解】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.

∵ EF⊥平面ABCD，

∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分

由题意，得EF=

∵ …………………………..8分

∵ EF⊥DF， ∴ ……………..10分

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分

6、（2009上海普陀区）已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.

解：如图，设中点为，联结、.

由题意，,,所以为等边三角形，

故，且.

又，

所以.

而圆锥体的底面圆面积为,

所以圆锥体体积.

7、（2009上海十校联考）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且．

（1） 若点、分别在棱、上，且，，求证：平面；

（2） 若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长．

【解】（1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．                 …… 1分

则，，，，，

因为，，所以，，             …… 3分

则，，．                 …… 5分

，，即垂直于平面中两条相交直线，所以平面．                                                               …… 7分

（2），可设，

所以向量的坐标为，                                   …… 8分

平面的法向量为．

点到平面的距离．               …… 10分

中，，，，所以．       …… 12分

三棱锥的体积，所以． …… 13分

此时向量的坐标为，，即线段的长为． …… 14分

8、（2009重点九校）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。                                               

(1)求证：；

（2）求与平面所成的角；

解:

（1）证明：因为是的中点，，

所以。  

由底面，得，

又，即，

 平面，所以 ，

 平面，

。                           ………… 5分

（2）连结，

因为平面，即平面，

所以是与平面所成的角，

在中，，

在中，，故，

在中, ，

又，

故与平面所成的角是。        …… 12分

备注：（1）、（2）也可以用向量法：

（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示（图略）

由，得，

因为  ，

所以。                                        …… 5分

（2）因为

所以，又 ，

故平面，即是平面的法向量。

设与平面所成的角为，又。

则，

又，故，即与平面所成的角是。

因此与平面所成的角为，                 …… 12分

9、(2009闸北区) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）求异面直线OB与MD所成角的大小．

解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形的面积，……………………………2分

所以，求棱锥的体积 ………………………………………4分

（Ⅱ）方法一（综合法）

设线段的中点为，连接，

则为异面直线OC与所成的角（或其补角） ………………………………..1分

       由已知，可得，

为直角三角形      ……………………………………………………………….2分

， ……………………………………………………………….4分

．

所以，异面直线OC与MD所成角的大小．   …………………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直线为轴建立坐标系，

则, ……………………………………………………2分

，， ………………………………………………………………………………..2分

 设异面直线OC与MD所成角为，

．……………………………….. …………………………3分

 OC与MD所成角的大小为．……………………………………………1分