在正数数列{a_n}中，S_n为a_n的前n项和，若点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，其中c为正常数，且c≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当c=

1

2

的时候，在数列{a_n}的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{b_n}：a_n和a_n+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，求b₂₀₁₄的值；
（3）设数列{c_n}满足c_n=

n，n=2k-1 2an，n=2k

，k∈N^*，当c=

3

3

时候，在数列{c_n}中，是否存在连续的三项c_r，c_r+1，c_r+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数r的值；若不存在，说明理由．

已知f（x）满足f（x+2）•f（x）=-1，f（x）关于点（1，0）中心对称，关于直线x=a轴对称，求a的值．

已知向量

a

=（1+cosωx，1），

b

=（1，a+

3

sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

在R上的最大值为2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）把函数y=f（x）的图象向右平移

π

6ω

个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，

π

4

]上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．

为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6位同学，这6位同学的成绩（分数）如茎叶图所示．
（1）求这6位同学成绩的平均数和标准差；
（2）从这6位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况，求这两位同学中恰有一位同学成绩低于平均分的概率．

已知在平面内点P满足|PM|-|PN|=2

2

，M（-2，0），N（ 2，0 ），O（0，0）
（1）求点P的轨迹S；
（2）（理）直线过点（2，0）与S交于点A，B，求△OAB的面积的最小值．

一个盒子中装有大小相同的小球n个，在小球上分别标有1，2，3，…，n的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为n的概率为

1

4

，
（Ⅰ）问：盒子中装有几个小球？
（Ⅱ）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量ξ（如取2468时，ξ=0；取1246或1245时，ξ=2；取1235时，ξ=3）求随机变量ξ的分布列及均值．

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与直角坐标系的非负半轴重合，直线l的参数方程为

x=t y=2+2t

（参数t∈R），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求证：

OA

•

OB

=0．

已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列．
（1）若a₂=1，a₅=3，求a₁的值；
（2）设a₁＜a₂，求证：对任意n∈N^*，且n≥2，都有

an+1

an

＜

a2

a1

．

有一种新型的洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液，它在水中释放的浓度y与时间x（小时）的关系可近似地表示为：y=a•f（x），其中f（x）=

2- x 6 - 6 x+3     0≤x＜3 1- x 6               3≤x≤6

；若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，只有当水中洗衣液的浓度不低于

1

3

时，才能起到有效去污的作用．
（Ⅰ） 如果只投放1个单位的洗衣液，则能够维持有效去污作用的时间有多长？
（Ⅱ） 第一次投放1个单位的洗衣液后，当水中洗衣液的浓度减少到

1

3

时，马上再投放1个单位的洗衣液，设第二次投放后水中洗衣液的浓度为g（x），求g（x）的函数解析式及其最大值；
（Ⅲ）若第一次投放2个单位的洗衣液，4小时后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的2小时中能够持续有效去污，试求a的最小值．

如图，f（x）=Asin（2ωx+φ）（ω＞0，A＞0，-π＜φ＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-π，-

π

2

]上的值域．