Question

在正数数列{a_n}中，S_n为a_n的前n项和，若点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，其中c为正常数，且c≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当c=

1

2

的时候，在数列{a_n}的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{b_n}：a_n和a_n+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，求b₂₀₁₄的值；
（3）设数列{c_n}满足c_n=

n，n=2k-1 2an，n=2k

，k∈N^*，当c=

3

3

时候，在数列{c_n}中，是否存在连续的三项c_r，c_r+1，c_r+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数r的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，可得S_n=

c2-an

c-1

，
再写一式，两式相减，可得数列{a_n}为等比数列，求出a₁=c，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中a_n这项是数列{b_n}的第n+（1+2+3+…+n-1）=

n(n+1)

2

项，从而可得b₂₀₁₄是以a₆₂为首项，a₆₃为末项共64项的等差数列的第62项，即可得出结论；
（3）分类讨论，若c_r=c_2k，不成立；若c_r=c_2k-1，可得k=3^k-1，令T_k=

k

3k-1

，则T_k+1-T_k=

1-2k

3k

＜0，即可得出结论．

解答： 解：（1）因为点（a_n，S_n）在函数y=

c2-x

c-1

的图象上，
所以S_n=

c2-an

c-1

，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

an-1-an

c-1

，
所以

an

an-1

=

1

c

，
所以数列{a_n}为等比数列                                   2分
将（a₁，S₁）代入y=

c2-x

c-1

得，a₁=c                        3分
故a_n=(

1

c

)n-2                                            4分
（2）数列{b_n}中a_n这项是数列{b_n}的第n+（1+2+3+…+n-1）=

n(n+1)

2

项
由

n(n+1)

2

=2014，得n=62时，

62(62+1)

2

=1953，1953+62=2015＞2014，
所以b₂₀₁₄是以a₆₂为首项，a₆₃为末项共64项的等差数列的第62项
所以b₂₀₁₄=a₆₂+61×

a63-a62

63

=

31

63

•262                       10分
（3）若c_r=c_2k，若c_r=c_2k，则由c_r+c_r+2=2c_r+1，得2•3^k-1+2•3^k=2（2k+1），
化简得4•3^k-1=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．              12分
若c_r=c_2k-1，则由c_r+c_r+2=2c_r+1，得（2k-1）+（2k+1）=2•2•3^k-1
化简得k=3^k-1．                                                     14分
令T_k=

k

3k-1

，则T_k+1-T_k=

1-2k

3k

＜0                 
因此，1=T₁＞T₂＞T₃＞…，
故只有T₁=1，此时r=2×1-1=1，
综上，在数列{c_n}中，仅存在连续的三项c_r，c_r+1，c_r+2，按原来的顺序成等差数列，此时正整数r=1   18分．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查等比数列的判断，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．