Question

已知f（x）满足f（x+2）•f（x）=-1，f（x）关于点（1，0）中心对称，关于直线x=a轴对称，求a的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：运用赋值，根据条件f（x+2）•f（x）=-1得到f（x）是最小正周期为4的函数，根据f（x）关于点（1，0）中心对称，得到f（-x）+f（2+x）=0，根据函数关于直线x=a轴对称，得到f（-x）=f（2a+x），从而得到f（2a+x）=-f（x+2），再把x换为x-2，得到f（2a-2+x）=-f（x），再把x换为x+2a-2，从而得到周期4a-4，令4a-4=4k（k是整数），求出a的值．

解答： 解：∵f（x）满足f（x+2）•f（x）=-1，
将x换为x+2得f（x+4）•f（x+2）=-1，
∴f（x+4）=f（x），
即f（x）是最小正周期为4的函数，
∵f（x）关于点（1，0）中心对称，
∴f（-x）+f（2+x）=0，
∵f（x）图象关于直线x=a对称，
∴f（-x）=f（2a+x），
∴f（2a+x）=-f（2+x），
将x换为x-2得，f（2a-2+x）=-f（x），
∴f（x+4a-4）=-f（x+2a-2）=f（x），
即函数f（x）的周期为4a-4，
∴4a-4=4k，a=1+k（k为整数）．
∴a的值为1+k（k为整数）．

点评：本题主要考查函数的周期性和对称性，注意掌握解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值和赋式是解决此类问题的关键，同时牢记结论：f（x）满足f（a-x）+f（a+x）=2b，则f（x）关于点（a，b）对称；f（x）满足f（a-x）=f（a+x）=，则f（x）关于直线x=a对称．