Question

已知在平面内点P满足|PM|-|PN|=2

2

，M（-2，0），N（ 2，0 ），O（0，0）
（1）求点P的轨迹S；
（2）（理）直线过点（2，0）与S交于点A，B，求△OAB的面积的最小值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的定义

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据双曲线的定义，我们可以求点P的轨迹S；
（2）分类讨论．当AB与x轴不垂直时，AB的方程为y=k（x-2），与x²-y²=2（x＞0）联立，利用韦达定理及弦长公式求出|AB|，再求出点O到直线AB的距离，可得面积，进而可以求出面积的最大值．

解答： 解：（1）由题意，因为在平面内点P满足|PM|-|PN|=2

2

，M（-2，0），N（ 2，0 ），
所以点P的轨迹S是双曲线的右支：x²-y²=2（x＞0）
（2）当AB与x轴不垂直时，AB的方程为y=k（x-2）
因为直线y=k（x-2）与S交与点A，B，结合渐近线斜率可得k＞1或k＜-1
联立y=k（x-2）与x²-y²=2（x＞0），消元，可得：(1-k2)x_+4k2x-4k2-2=0，
故x1+x2=-

4k2

1-k2

，x1x2=-

4k2+2

1-k2

弦长|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 4k2 1-k2 )2+ 16k2+8 1-k2

=2

2

k2+1

k2-1

又点O到直线AB的距离d=

|-2k|

1+k2

，
故S△OAB=

1

2

|AB|•d=

|k|

1+k2

•2

2

k2+1

k2-1

=2

2

|k| 1+k2

k2-1

因为S2△OAB=

8k2(k2+1)

(k2-1)2

=

8[(k2-1)+1][(k2-1)+2]

(k2-1)2

=8(

1

k2-1

+1)(

2

k2-1

+1)
令t=

1

k2-1

∈(0，+∞)，有S²_△OAB=8（t+1）（2t+1）＞8，
所以S△OAB＞2

2

当AB⊥x轴时，|AB|=

2b2

a

=

4

2

=2

2

，S△OAB=

1

2

×2×2

2

=2

2

所以，当AB⊥x轴时，△OAB的面积最小，最小值是2

2

．

点评：本题考查双曲线的定义与方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．