Question

已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列．
（1）若a₂=1，a₅=3，求a₁的值；
（2）设a₁＜a₂，求证：对任意n∈N^*，且n≥2，都有

an+1

an

＜

a2

a1

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）在已知条件中，取n为具体值可得a₁，a₂，a₃成等差数列，a₃，a₄，a₅成等差数列，a₂，a₃，a₄成等比数列，由等差中项的概念和等比中项的概念结合a₂=1，a₅=3列式求得a₁的值；
（2）当n为大于等于3的奇数时，由已知可得a_n，a_n+1，a_n+2成等差数列，利用作差法证明

an+2

an+1

≤

an+1

an

；
当n为大于等于2的偶数时，由已知可得a_n，a_n+1，a_n+2成等比数列，由等比中项的概念可得

an+2

an+1

=

an+1

an

，
则有

an+2

an+1

≤

an+1

an

≤…≤

a3

a2

．验证

a3

a2

＜

a2

a1

后即可得到对任意n∈N^*，且n≥2，都有

an+1

an

＜

a2

a1

．

解答： （1）解：由a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，可知a₁，a₂，a₃成等差数列，a₃，a₄，a₅成等差数列，
由a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列，可知a₂，a₃，a₄成等比数列，
则

2=a1+a3 a32=a2a4 2a4=a3+a5

，
又a₂=1，a₅=3，
∴

2=a1+a3 a32=a4 2a4=a3+3

，则2a32=a3+3，解得a3=

3

2

或a₃=-1（舍），
∴a1=2-

3

2

=

1

2

；
（2）证明：①若n为奇数且n≥3时，则a_n，a_n+1，a_n+2成等差数列，
∵

an+2

an+1

-

an+1

an

=

an+2an-an+12

an+1an

=

(2an+1-an)an-an+12

an+1an

=-

(an+1-an)2

an+1an

≤0，
∴

an+2

an+1

≤

an+1

an

；
②若n为偶数且n≥2时，则a_n，a_n+1，a_n+2成等比数列，
∴

an+2

an+1

=

an+1

an

，
由①②可知，对任意n≥2，n∈N^*，有

an+2

an+1

≤

an+1

an

≤…≤

a3

a2

．
又∵

a3

a2

-

a2

a1

=

2a2-a1

a2

-

a2

a1

=

2a2a1-a12-a22

a2a1

=-

(a1-a2)2

a2a1

，
∵a₂＞a₁＞0，
∴-

(a1-a2)2

a1a2

＜0，即

a3

a2

＜

a2

a1

．
综上，

an+1

an

＜

a2

a1

．

点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用作差法求证不等式，综合考查了学生的灵活应变能力，属有一定难度的题目．