Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与直角坐标系的非负半轴重合，直线l的参数方程为

x=t y=2+2t

（参数t∈R），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求证：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,平面向量数量积的运算

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程；利用极坐标公式，化曲线C的极坐标方程为普通方程．
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，由

2x-y+2=0 x2=2y

，求出x₁，y₁，x₂，y₂的关系，从而计算

OA

•

OB

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为

x=t y=2+2t

（参数t∈R），
消去参数t，得普通方程是2x-y=-2，
即2x-y+2=0；
∵曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，
∴ρ²cos²θ=2ρsinθ，
化为普通方程是x²=2y．
（Ⅱ）证明：设直线l与曲线C相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
则

2x-y+2=0 x2=2y

，
消去y，得x²-4x-4=0；
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-4；
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（2x₁+2）（2x₂+2）
=x₁x₂+4[（x₁+x₂）+x₁x₂+1]
=-4+4×[4-4+1]=0．

点评：本题考查了参数方程与极坐标以及向量的综合应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再利用向量的知识解答，是综合题．