如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，把此梯形绕其直角边AD旋转120°得到如图所示的几何体，点G是∠BDF平分线上任意一点（异于点D），点M是弧

BF

的中点．
（Ⅰ）求证：BF⊥AG；
（Ⅱ）求二面角B-DM-F的大小的余弦值．

若关于x的方程﹙lgx﹚²-2mlgx+（m-

1

4

）=0有两个大于1的根，求m的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

7

2

，椭圆C的离心率为

3

4

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，

|OP|

OM

=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

若a、b、c＞0，求证：（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）≤abc．

设函数f_n（x）=2sin（a_nx+

π

6

）（a_n＞0，n∈N^*），其周期为n（n+1），S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n，S_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=f_n（1），求{b_n}的最大、最小项的值；
（Ⅲ）在（2）的条件下，证明：b_n＜S_n．

已知函数f(x)=x2-ax+ln

ax+1

2

(a＞0)．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意a∈（1，2），总存在x0∈[

1

2

，1]，使不等式f(x0)＞k(1-a2)成立，求实数k的取值范围．

某校内有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售．已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面积S_弓=f（θ）；
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
（参考公式：扇形面积公式S=

1

2

R²θ=

1

2

Rl，l表示扇形的弧长）

设函数f（x）=|2x-1|+|ax-3|，x∈R
（Ⅰ）若a=1时，解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若a=2时，g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

已知f（x）=lnx-x+a+1
（1）若存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的范围；
（2）求证：当x＞1时，在（1）的条件下，

1

2

x2+ax-a＞xlnx+

1

2

成立．

设函数f（x）=Acosωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中△PQR为等腰直角三角形，∠PQR=

π

2

，PR=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）-

1

4

在x∈[0，4]时的所有零点之和．