题目内容
若a、b、c＞0，求证：（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）≤abc．
考点：不等式的证明
专题：证明题
分析：依题意，易知aa+b-c，b+c-a，c+a-b中至多有一个数非正，分三式中一项为负与三式均正讨论，对后者利用基本不等式即可证得结论．
解答：
证明：∵（a+b-c）+（b+c-a）=2b＞0，?
（b+c-a）+（c+a-b）=2c＞0，?
（c+a-b）+（a+b-c）=2a＞0，?
∴a+b-c，b+c-a，c+a-b中至多有一个数非正．??
（1）当a+b-c，b+c-a，c+a-b中有且仅有一个数为非正时，原不等式显然成立；
（2）a+b-c，b+c-a，c+a-b均为正时，
≤
=b．
同理可得：
≤a，
≤c，?
三式相乘得（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）≤abc．
综上所述，当a、b、c＞0时，（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）≤abc．
（b+c-a）+（c+a-b）=2c＞0，?
（c+a-b）+（a+b-c）=2a＞0，?
∴a+b-c，b+c-a，c+a-b中至多有一个数非正．??
（1）当a+b-c，b+c-a，c+a-b中有且仅有一个数为非正时，原不等式显然成立；
（2）a+b-c，b+c-a，c+a-b均为正时，
| (a+b-c)(b+c-a) |
| (a+b-c)+(b+c-a) |
| 2 |
同理可得：
| (a+b-c)(c+a-b) |
| (b+c-a)(c+a-b) |
三式相乘得（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）≤abc．
综上所述，当a、b、c＞0时，（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）≤abc．
点评：本题考查不等式的证明，考查均值不等式的应用，考查叠乘的运算及应用均值不等式进行分类讨论思想的应用，属于难题．
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