Question

某校内有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售．已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面积S_弓=f（θ）；
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
（参考公式：扇形面积公式S=

1

2

R²θ=

1

2

Rl，l表示扇形的弧长）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,已知三角函数模型的应用问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）由S_弓=S_扇-S_△，利用扇形及三角形面积公式即得；
（2）由题意列出函数关系式，利用导数判断函数单调性求得最大值即可．

解答： 解：（1）S_扇=

1

2

R²θ，S_△OBD=

1

2

R²sinθ，
S_弓=f（θ）=

1

2

R2(θ-sinθ)．
（2）设总利润为y元，种植草皮利润为y₁元，种植花卉利润为y₂，种植学校观赏植物成本为y₃，
y₁=30（

1

2

πR²-

1

2

R²θ），y₂=

1

2

R²sinθ•80，y₃=

1

2

R²（θ-sinθ）•20，
∴y=y₁+y₂-y₃=30（

1

2

πR²-

1

2

R²θ）+

1

2

R²sinθ•80-

1

2

R²（θ-sinθ）•20
=5R²[3π-（5θ-10sinθ）]，
设g（θ）=5θ-10sinθ  θ∈（0，π）．
∴g′（θ）=5-10cosθ
∴g′（θ）＜0，cosθ＞

1

2

，g（θ）在θ∈（0，

π

3

）上为减函数；
g′（θ）＞0，cosθ＜

1

2

，g（θ）在θ∈（

π

3

，π）上为增函数；
当θ=

π

3

时，g（θ）取到最小值，
此时总利润最大：y=5R²[3π-（5θ-10sinθ）]=5R²（

4π

3

+5

3

）．
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

π

3

时，总利润取最大值5R²（

4π

3

+5

3

）．

点评：本题主要考查导数在实际问题中的应用，考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题，属中档题．