Question

设函数f（x）=|2x-1|+|ax-3|，x∈R
（Ⅰ）若a=1时，解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若a=2时，g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过对x取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式，解之取并即可；
（Ⅱ）依题意知，f（x）+m=0在R上无解；利用绝对值不等式可求得f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，从而可得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|2x-1|+|x-3|，∵f（x）≤5，
∴

x＜ 1 2 4-3x≤5

或

1 2 ≤x≤3 x+2≤5

或

x＞3 3x-4≤5

，解得-

1

3

≤x＜

1

2

，或

1

2

≤x≤3，或x∈∅，
∴-

1

3

≤x≤3．
∴不等式的解集为[-

1

3

，3]…5分
（Ⅱ）g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R，则f（x）+m≠0，即f（x）+m=0在R上无解；
又a=2时，f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，即f（x）_min=2，
∴m＞-2…10分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．