题目内容

若关于x的方程﹙lgx﹚2-2mlgx+（m-
1
4
）=0有两个大于1的根，求m的取值范围．
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系
专题：函数的性质及应用
分析：设t=lgx，函数f（t）=t2-2mt+（m-
1
4
），根据二次函数根的发布即可得到结论．
解答： 解：设t=lgx，当x＞1时，t＞0，
则关于x的方程﹙lgx﹚2-2mlgx+（m-
1
4
）=0有两个大于1的根，
等价为函数f（t）=t2-2mt+（m-
1
4
）有两个大于0的根，
则
f(0)=m-
1
4
＞0
△=4m2-4(m-
1
4
)≥0
-
-2m
2
=m＞0
，
即
m＞
1
4
(2m-1)2≥0
m＞0
，
解得m＞
1
4
．
点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用换元法将方程转化为二次方程，根据二次函数和二次方程之间的关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足
f(x)
g(x)
=ax，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，若有穷数列{
f(n)
g(n)
}（n∈N*）的前n项和为
127
128
，则n=（　　）
A、4B、5C、6D、7
已知函数f(x)=1nx+x-
a
x
(a≥-2)，g(x)=ex-x，其中e为自然对数的底数，且当x＞0时f（x）≥3恒成立．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求证：f（x）+g（x）＞4．
已知函数f（x）=ax-ex（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=x2-2x+1，证明：当1＜a＜e时，对任意x1∈（-∞，+∞），总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2）成立．
某校内有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售．已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面积S弓=f（θ）；
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
（参考公式：扇形面积公式S=
1
2
R2θ=
1
2
Rl，l表示扇形的弧长）
设a是实数，函数f（x）=ax2+（a+1）x-2lnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=2时，过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；
（3）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若
g(x)-h(x)
x-x0
＜0在D内恒成立，则称点P为函数y=g（x）的“巧点”．当a=-
1
4
时，试问函数y=f（x）是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．
对于定义在D上的函数y=f（x），若存在x0∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≥f（x0）或者f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间D上的“下确界”或“上确界”．
（Ⅰ）求函数f（x）=ln（2-x）+x2在[0，1]上的“下确界”；
（Ⅱ）若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数f（x）在D上的“极差M”，试求函数F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的“极差M”；
（Ⅲ）类比函数F（x）的“极差M”的概念，请求出G（x，y）=（1-x）（1-y）+
x
1+y
+
y
1+x
在D={（x，y）|x，y∈[0，1]}上的“极差M”．
已知函数f（x）在R奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）在闭区间[
1
2
，m]最大值为-
3
4
，最小值为-1，求m的取值范围．
（1-
4
x
）4展开式中
1
x
的系数是
 
．

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