Question

设函数f（x）=Acosωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中△PQR为等腰直角三角形，∠PQR=

π

2

，PR=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）-

1

4

在x∈[0，4]时的所有零点之和．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）利用面积法求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由f(x)-

1

4

=0，得cosπx=

1

2

，故x=2k+

1

3

，或x=2k+

5

3

（k∈Z），由此求得当x∈[0，4]时，所有零点之和．

解答： 解：（I）如图，由已知得

1

2

•PR•A=

1

2

PQ•QR，即

1

2

×1×A=

1

2

×

2

2

×

2

2

，
求得A=

1

2

．
再根据

1

2

•T=

1

2

•

2π

ω

=PR=1，可得ω=π，所以f(x)=

1

2

cosπx．
（Ⅱ）由f(x)-

1

4

=0，得cosπx=

1

2

，故x=2k+

1

3

，或x=2k+

5

3

（k∈Z），
所以当x∈[0，4]时，的所有零点之和为S=(

1

3

+

5

3

)+(

7

3

+

11

3

)=8．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．