Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，把此梯形绕其直角边AD旋转120°得到如图所示的几何体，点G是∠BDF平分线上任意一点（异于点D），点M是弧

BF

的中点．
（Ⅰ）求证：BF⊥AG；
（Ⅱ）求二面角B-DM-F的大小的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AM交BF于点O，证明AM⊥BF，DA⊥BF，可得BF⊥平面ADM，从而BF⊥AG；
（Ⅱ）作BN⊥DM，垂足为N，连接FN，则FN⊥DM，利用余弦定理可求二面角B-DM-F的大小的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接AM交BF于点O，则
∵点M是弧

BF

的中点，
∴AM⊥BF且O为BF的中点，
∵DB=DF，
∴DO平分∠BDF，即点G在直线DO上，
∵DA⊥AB，DA⊥AF，AB∩AF=A，
∴DA⊥平面ABF，
∴DA⊥BF，
∵DA∩AM=A，
∴BF⊥平面ADM，
∵AG?平面ADM，
∴BF⊥AG；
（Ⅱ）解：∵DB=DF，BM=FM，DM=DM，
∴△BDM≌△FDM，
作BN⊥DM，垂足为N，连接FN，则FN⊥DM，∠BNF为所求．
∵AB=AD=2，在△DBM和△DFM中，运用等面积可得BN=FN=

14

2

，
∵BF=2

3

，
∴cos∠BNF=

BN2+FN2-BF2

2BN•FN

=-

5

7

∴二面角B-DM-F的大小的余弦值为-

5

7

．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合问题，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查二面角大小的余弦值，属于中档题．