题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
，椭圆C的离心率为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 7 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
| |OP| |
| OM |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由已知条件条件，利用椭圆性质，列出方程求出a，b值，问题得以解决．
（2）设M（x，y），根据条件列出关于λ的方程（16λ2-9）x2+16λ2y2=448，然后再按照，线段，圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论．
（2）设M（x，y），根据条件列出关于λ的方程（16λ2-9）x2+16λ2y2=448，然后再按照，线段，圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论．
解答：
解：（1）∵过焦点垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
，椭圆C的离心率为
．
∴
解得a=8，b=2
，
∴椭圆C的方程为：
+
=1．
（2）设M（x，y），其中x∈[-8，8]．
∵
=λ2，及点P在椭圆C上，可得
=λ2，
整理得（16λ2-9）x2+16λ2y2=448，其中x∈[-8，8]．
①当λ=
时，化简得9y2=448．
所以点M的轨迹方程为y=±
（-8≤x≤8），轨迹是两条平行于x轴的线段．
②当λ≠
时，方程变形为：
+
=1，
当0＜λ＜
时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-8≤x≤8的部分；
当
＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-8≤x≤8的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．
| 7 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴
|
解得a=8，b=2
| 7 |
∴椭圆C的方程为：
| x2 |
| 64 |
| y2 |
| 28 |
（2）设M（x，y），其中x∈[-8，8]．
∵
| |OP|2 |
| |0M|2 |
| 9x2+448 |
| 16(x2+y2) |
整理得（16λ2-9）x2+16λ2y2=448，其中x∈[-8，8]．
①当λ=
| 3 |
| 4 |
所以点M的轨迹方程为y=±
8
| ||
| 3 |
②当λ≠
| 3 |
| 4 |
| x2 | ||
|
| y2 | ||
|
当0＜λ＜
| 3 |
| 4 |
当
| 3 |
| 4 |
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．
点评：本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题．
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B、
| ||
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