Question

设函数f_n（x）=2sin（a_nx+

π

6

）（a_n＞0，n∈N^*），其周期为n（n+1），S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n，S_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=f_n（1），求{b_n}的最大、最小项的值；
（Ⅲ）在（2）的条件下，证明：b_n＜S_n．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数的周期直接求a_n，利用裂项法即可求解S_n的表达式；
（Ⅱ）利用b_n=f_n（1）求出b_n的表达式，判断三角函数的相位的范围，通过三角函数的最值，直接求{b_n}的最大、最小项的值；
（Ⅲ）在（2）的条件下，判断数列{S_n}是增函数数列，然后证明：b_n＜S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知T=

2π

an

=n（n+1），
∴an=

2π

n(n+1)

，
∵an=

2π

n(n+1)

=2π(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=2π[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2π(1-

1

n+1

)．
（Ⅱ）b_n=f_n（1）=2sin（

2π

n(n+1)

+

π

6

），
当n=1时，b₁=2sin（π+

π

6

）=-1；
当n≥2时，

π

6

＜

2π

n(n+1)

+

π

6

≤

π

3

+

π

6

=

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

2π

n(n+1)

+

π

6

）≤1
∴1＜b_n≤2，
{b_n}的最大、最小项的值分别为2，-1；
（Ⅲ）∵S_n=2π(1-

1

n+1

)，
∴Sn+1-Sn=2π(1-

1

n+2

)-2π(1-

1

n+1

)=2π(

1

n+1

-

1

n+2

)＞0
∴{S_n}是递推数列，
∴{S_n}_min=S₁=π，
由于b_n＜2＜π≤S_n，
∴b_n＜S_n．

点评：本题考查三角函数的应用，数列的函数的特征，考查数列与三角函数以及不等式的证明，是综合题目．