Question

已知f（x）=lnx-x+a+1
（1）若存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的范围；
（2）求证：当x＞1时，在（1）的条件下，

1

2

x2+ax-a＞xlnx+

1

2

成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定函数在x=1处取得最大值f（1）=a，即可求a的范围；
（2）令g（x）=

1

2

x2+ax-a-xlnx-

1

2

，证明g′（x）≥0，即可证明．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-x+a+1（x＞0），
∴f′（x）=

1

x

-1
∴函数在（0，1）上，f′（x）＞0，在（1，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函数在x=1处取得最大值f（1）=a，
∵存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，
∴a≥0；
（2）证明：令g（x）=

1

2

x2+ax-a-xlnx-

1

2

，
则g′（x）=x+a-lnx-1，
∵f（x）=lnx-x+a+1≤f（1）=a，
∴x-lnx-1≥0，
∴g′（x）≥0
∵x＞1，
∴g（x）＞g（1）=0，
∴

1

2

x2+ax-a＞xlnx+

1

2

成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，正确构建函数，确定函数的单调性是关键．