已知函数f（x）=

1+㏑x

x

．
（1）若函数在区间（t，t+

1

2

）（其中t＞0）上存在极值，求实数t的取值范围；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立，求实数a的取值范围．
（3）证明：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N⁺）．

设方程2^x+x=4的根为x₀，若x₀∈（k-1，k+1），则整数k=．

已知

a

=（x-1，2），

b

=（2，1）且

a

⊥

b

，则x=．

已知三次函数f（x）=

1

3

x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在x∈（-∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围为．

一个正三棱锥的底面边长为6

3

，高为4，则这个正三棱锥的侧面积是．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁与侧面BCC₁B₁的距离为2，侧面BCC₁B₁的面积为4，此三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为．

下列事件A、B是相互独立事件的是．
①一枚硬币掷两次，事件A表示“第一次为正面”，事件B表示“第二次为反面”②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸两球，事件A表示“第一次摸到白球”，事件B表示“第二次摸到白球”③掷一枚骰子，事件A表示“出现的点数为奇数”，事件B表示“出现的点数为偶数”④事件A表示“人能活到20岁”，事件B表示“人能活到50岁”

在△AOB中，OA=5，OB=3，AB的垂直平分线l交AB于点C，P是l上的任意一点，则

OP

•（

OB

-

OA

）的值为．

若|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|=1，则向量

a

、

b

的夹角等于．

函数f（x）=log₂x与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则g（2）=．