Question

已知函数f（x）=

1+㏑x

x

．
（1）若函数在区间（t，t+

1

2

）（其中t＞0）上存在极值，求实数t的取值范围；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立，求实数a的取值范围．
（3）证明：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N⁺）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f′（x）=-

lnx

x2

，从而f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，得函数f（x）在x=1处取到极大值，得

t＜1 t+ 1 2 ＞1

，解出即可．
（2）不等式f（x）≥

a

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥a，记g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，得g′（x）=

x-lnx

x2

，从而g′（x）＞0，g（x）_min从而a≤2．
（3）由所述知f（x）≥

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，得ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2，从而[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．

解答： 解（1）∵f′（x）=-

lnx

x2

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴函数f（x）在x=1处取到极大值，
∵函数f（x）在区间（t，t+

1

2

）（其中t＞0）上存在极值，
∴

t＜1 t+ 1 2 ＞1

，解得：

1

2

＜t＜1；
（2）不等式f（x）≥

a

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥a，
记g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
∴g′（x）=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上递增，
∴g（x）_min=g（1）=2，
∴a≤2．
（3）由所述知f（x）≥

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
∴ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，ln（3×4）＞1-

2

3×4

，…，
ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
∴ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2，
则1×2²×3²×…×n²（n+1）＞e^n-2，
∴[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值，最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．