中国跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10

2

3

m，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3

3

5

m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？

设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线．
1）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

如图，等腰梯形ABCD中，线段Ab的中点O是抛物线的顶点，DA、AB、BC分别与抛物线切于点M、O、N．等腰梯形的高是3，直线CD与抛物线相交于E、F两点，线段EF的长是4．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求抛物线的方程；
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面积的最小值，并确定此时M、N的位置．

如图，设点A（x₀，y₀）为抛物线y2=

x

2

上位于第一象限内的一动点，点B（0，y₁）在y轴正半轴上，且|OA|=|OB|，直线AB交x轴于点P（x₂，0）．
（Ⅰ）试用x₀表示y₁；
（Ⅱ）试用x₀表示x₂；
（Ⅲ）当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标．

若抛物线y²=x上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+b对称，且y₁y₂=-1，则实数b的值为（　　）

A．-3

B．3

C．2

D．-2

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（

3

，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比

S△BCF

S△ACF

=（　　）

A． 4 5

B． 2 3

C． 4 7

D． 1 2

点Q在抛物线y²=4x上，点P（a，0）（满足|PQ|≥|a|恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．（0，2）

B．[0，2]

C．（-∞，2]

D．（-∞，0）

一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？

直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值，及点A的坐标；
（Ⅱ）求过点B（0，-1）的抛物线C的切线方程．