题目内容
中国跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10
m，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3
m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？
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（1）求这条抛物线的解析式．
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3
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（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？
（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为
y=ax2+bx+c．
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，-10），且顶点A的纵坐标为
，c=0，
所以有
=
，
4a+2b+c=-10．a=-
，
解之得b=
，c=0
或a=-
，b=-2，c=0．
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴-
＞0．
又∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∴b＞0，后一组解舍去．
∴a=-
，b=
，c=0．
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x．
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3
m时，即x=3
-2=
时，
y=（-
）×（
）2+
×
=-
，
∴此时运动员距水面的高为
10-
=
＜5．
因此，此次跳水会出现失误．
（3）当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到．
∴当y＜0时，要使跳水不出现失误，
则应有|y|≤10-5，即-y≤5．
∴有
x2-
x≤5，
解得2-
≤x≤2+
．
∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+
=4+
m．
y=ax2+bx+c．
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，-10），且顶点A的纵坐标为
| 2 |
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所以有
| 4ac-b2 |
| 4a |
| 2 |
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4a+2b+c=-10．a=-
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解之得b=
| 10 |
| 3 |
或a=-
| 3 |
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∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴-
| b |
| 2a |
又∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∴b＞0，后一组解舍去．
∴a=-
| 25 |
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| 10 |
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∴抛物线的解析式为y=-
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（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3
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y=（-
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∴此时运动员距水面的高为
10-
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因此，此次跳水会出现失误．
（3）当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到．
∴当y＜0时，要使跳水不出现失误，
则应有|y|≤10-5，即-y≤5．
∴有
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解得2-
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∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+
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的右焦点为
，
为上顶点，
为坐标原点，若△
的面积为
，且椭圆的离心率为
．
交椭圆于
，
两点， 且使点
的垂心？若存在，求出直线
中，椭圆
的离心率为
，直线
被椭圆
截得的线段长为
.
两点（
在椭圆
，直线
与
轴、
轴分别交于
两点.
的斜率分别为
，证明存在常数
使得
，并求出
面积的最大值.
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