如图所示，OACB是矩形，C（a，b），点D为BC中点，反比例函数y=

4

x

的图象经过点D且交AC于点E．
（1）求证：△AOE与△BOD的面积相等；
（2）求证：点E是AC的中点；
（3）当OE⊥DE时，试求OB²-OA²的值．

如图在等腰Rt△OBA和Rt△BCD中，∠OBA=∠BCD=90°，点A和点C都在双曲线y=

k

x

（k＞0）上，则点D的坐标为______．

如图，已知直线y₁=-2x经过点P（-2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y₂=

k

x

（k≠0）的图象上．
（1）求点P′的坐标；
（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y₂＜2时自变量x的取值范围．

如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=

k

x

（k＞0）经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．
（1）求该双曲线所表示的函数解析式；
（2）求等边△AEF的边长．

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

m

x

的图象相交于A、B两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象写出使该一次函数的值小于该反比例函数的值的x的取值范围；
（3）过B点作BH垂直于x轴垂足为H，连接OB，在x轴是否存在一点P（不与点O重合），使得以P、B、H为顶点的三角形与△BHO相似？若存在，直接写出点P的坐标；不存在，说明理由．

如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y=

k

x

交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是______．

如图，正比例函数y=

1

2

x与反比例函数y=

k

x

的图象相交于A、B两点，过B作BC⊥x轴，垂足为C，且△BOC的面积等于4．
（1）求k的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△POA为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：如图，在直角坐标系中，O为原点，点A、B的坐标分别为（3

3

-3，0）、（3+3

3

，0），点C、D在一个反比例函数的图象上，且∠AOC=45°，∠ABC=30°，AB=BC，DA=DB．
求：点C、D两点的坐标．

如图，直线与y=2x双曲线y=

8

x

相交于点A、E，直线AB与双曲线交于点B，与x轴、y轴分别交于点C、D，且B点横坐标等于纵坐标的两倍，直线EB交x轴于点F，
（1）求直线AB的解析式；
（2）求证：△COD∽△CBF．

已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式．
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标．
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积S，并指出相应t的取值范围．