Question

已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式．
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标．
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积S，并指出相应t的取值范围．

Answer 1

（1）∵正方形ABCD的边长为4，
∴C的坐标为（4，4），
设反比例解析式为y=

k

x

，
将C的坐标代入解析式得：k=16，
则反比例解析式为y=

16

x

；

（2）当Q在DC上时，如图所示：

此时△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4-4t，解得t=

4

5

，
则DQ=4t=

16

5

，即Q₁（

16

5

，4）；
当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：

若Q在上边，则△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t-4=t，解得t=

4

3

，
则QB=8-4t=

8

3

，此时Q₂（4，

8

3

）；
若Q在下边，则△APD≌△BQA，
则AP=BQ，即8-4t=t，解得t=

8

5

，
则QB=

8

5

，即Q₃（4，

8

5

）；
当Q在AB边上时，如图所示：

此时△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t-8=t，解得t=

8

3

，
因为0≤t≤

12

5

，所以舍去．
当t=2.4时，P、Q在AB上重合，此时△ADP和△QAD重合，重合时两三角形肯定全等，
∴Q₄（2.4，0）
综上，Q1(

16

5

，4)；Q2(4，

8

3

)；Q₃（4，

8

5

），Q₄（2.4，0）
；

（3）S₁=8t（0＜t≤1）；S₂=-2t²+2t+8（1≤t≤2）；S₃=-10t+24（2≤t≤

12

5

）．