Question

如图所示，OACB是矩形，C（a，b），点D为BC中点，反比例函数y=

4

x

的图象经过点D且交AC于点E．
（1）求证：△AOE与△BOD的面积相等；
（2）求证：点E是AC的中点；
（3）当OE⊥DE时，试求OB²-OA²的值．

Answer 1

（1）证明：∵E，D点都在反比例函数图象上，
∴E，D横纵坐标乘积相等，
∵△AOE为

1

2

×AO×AE=

1

2

xy=2，△BOD的面积为：

1

2

×BO×DB=

1

2

xy=2，
∴△AOE与△BOD的面积相等；

（2）证明：∵点D为BC中点，△AOE与△BOD的面积相等，即

1

2

×AO×AE=

1

2

×BO×DB，
∴

1

2

×2BD×AE=

1

2

×BO×DB，
∴2AE=BO，
∴点E是AC的中点；

（3）∵OE⊥DE，
∴∠CED+∠AEO=90°，
又∵∠AOE+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠CDE，
∵∠OAE=∠C，
∴△AOE∽△CED，
∴

AO

EC

=

AE

CD

，
∵AE=EC，CD=BD
∴AE²=AO×CD=AO×

1

2

AO=

1

2

AO²，
∴（

BO

2

）²=

1

2

AO²，
即BO²=2AO²，则BO=

2

AO，
∴BO×BD=

2

AO×

1

2

AO=

2

2

AO²=k=4，
∴OB²-OA²=AO²=4÷

2

2

=4

2

．