已知函数.讨论的单调性. 本小题主要考查函数的定义域.利用导数等知识研究函数的单调性.考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力.本小题满分12分. 解:的定义域是(0,+), 21世纪教育网 ——青夏教育精英家教网—

12.(2009安徽卷理)(本小题满分12分)

　已知函数，讨论的单调性.

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。

解：的定义域是(0,+), 21世纪教育网　　

设,二次方程的判别式.

①　　当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。

②　　当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。　　　　

③　　当，即时，

方程有两个不同的实根,,.


+	0	_	0	+
单调递增	极大	单调递减	极小	单调递增

此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.

11.(2009广东卷理)(本小题满分14分)

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．

(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

(2)如何取值时，函数存在零点，并求出零点．　　　　　　

解：(1)依题可设 ()，则；

　　又的图像与直线平行　　　　

　　，，　

设，则 21世纪教育网　　

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值

当时，　解得

　 (2)由()，得　

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，

若，，

函数有两个零点，即；

若，，

函数有两个零点，即；

当时，方程有一解,　 ,

函数有一零点

综上，当时, 函数有一零点；

当()，或()时，

函数有两个零点；

当时，函数有一零点.

10.设函数，其中常数a>1

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。21世纪教育网　　

解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解： (I) 21世纪教育网　　

　　　由知，当时，，故在区间是增函数；

　　　　当时，，故在区间是减函数；

　　　　当时，，故在区间是增函数。

　　　　综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。

　　 (II)由(I)知，当时，在或处取得最小值。

由假设知21世纪教育网　　

　　　　　　即　　解得　 1<a<6

故的取值范围是(1，6)

9.(2009山东卷文)(本小题满分12分)

已知函数,其中　　　

(1)　　　当满足什么条件时,取得极值?

(2)　　　已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得极值,方程必须有解,

所以△,即,　此时方程的根为

所以　　　

当时,

x	(-∞,x₁)	x₁	(x₁,x₂)	x₂	(x₂,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

所以在x₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

当时, 　　　

x	(-∞,x₂)	x₂	(x₂,x₁)	x₁	(x₁,+∞)
f’(x)	－	0	+	0	－
f (x)	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

所以在x₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

综上,当满足时, 取得极值. 　　　

(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.

即恒成立,　所以

设,,

令得或(舍去), 　　　

当时,,当时,单调增函数;

当时,单调减函数,

所以当时,取得最大,最大值为.

所以

当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以

综上,当时, ;　　当时, 　　　

[命题立意]:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

8.(2009山东卷理)(本小题满分12分)

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.